Giải thích các bước giải:

 a,

Xét hai tam giác \(\Delta BAH\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {HBA} = \widehat {CBA}\\
\widehat {BHA} = \widehat {CAB} = 90^\circ 
\end{array}\)

Suy ra \(\Delta BAH \sim \Delta BCA\,\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

Do đó, \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow A{B^2} = BH.BC\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

b,

Xét hai tam giác \(\Delta BAH\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {BHA} = \widehat {CHA} = 90^\circ \\
\widehat {ABH} = 90^\circ  - \widehat {BAH} = \widehat {CAH}
\end{array}\)

Suy ra \(\Delta BAH \sim \Delta ACH\,\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

Do đó, \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{CH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

c,

Xét hai tam giác \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHB\) có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {DAH} = \widehat {HAB}\\
\widehat {ADH} = \widehat {AHB} = 90^\circ 
\end{array}\)

Suy ra \(\Delta ADH \sim \Delta AHB\,\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

Do đó, \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Leftrightarrow A{H^2} = AD.AB\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

d,

Xét hai tam giác \(\Delta AEH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {EAH} = \widehat {HAC}\\
\widehat {AEH} = \widehat {AHC} = 90^\circ 
\end{array}\)

Suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AHC\,\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow A{H^2} = A.AB\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ phần c suy ra \(AD.AB = A{H^2} = AE.AC\)

e,

\(AD.AB = AE.AC \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

Xét hai tam giác \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\\
\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\\
 \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ACB\,\,\,\,\,\,\left( {c.g.c} \right)
\end{array}\)