Đáp án:

a) Tứ giác BDFC là hình thang cân

b) Tứ giác ADEF là hình thoi

c) Để tứ giác ADEF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

D là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của AC (gt)

$\to$ DF là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to DF//BC$

$\to$ Tứ giác BDFC là hình thang

$\triangle ABC$ cân tại A

$\to \widehat{B}=\widehat{C}$ (2 góc ở đáy)

$\to$ Tứ giác BDFC là hình thang cân (2 góc kề 1 đáy bằng nhau)

b)

Xét $\triangle ABC$:

D là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to DE//AC, DE=\dfrac{1}{2}AC$

Chứng minh tương tự

$\to EF//AB, EF=\dfrac{1}{2}AB$

Xét tứ giác ADEF:

$DE//AF\,\,\,(DE//AC, F\in AC)\\DE=AF\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác ADEF là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau) (1)

Mà $AB=AC$ ($\triangle ABC$ cân tại A)

$\to DE=EF$ (2)

Từ (1), (2) $\to$ Tứ giác ADEF là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

c)

Tứ giác ADEF là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác ADEF là hình vuông

$\to DA\bot AF\\\to BA\bot AC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A

$\to$ Để tứ giác ADEF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A