Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$

Mà $\hat A=60^o$

$\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $AB=8$

$\to AC=\dfrac12AB=4, BC=AC\sqrt3=4\sqrt3$

b.Ta có $DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{DCB}=\widehat{CAB}=60^o$

Mà $BD\perp CD\to \Delta BCD$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$

$\to BC=2CD$

Ta có $OC\perp DE$ vì $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AE//OC//BD$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to OC$ là đường trung bình hình thang $ABDE$

$\to C$ là trung điểm $DE$

$\to DE=2CD=BC$

c. Ta có: $DE=BC=4\sqrt3, \widehat{EAC}=\widehat{ACO}=\widehat{OAC}=60^o$

Mà $AE\perp CE\to \Delta ACE$ là nửa tam giác đều cạnh $AC$

Ta có: $OC$ là đường trung bình hình thang $ABDE\to \dfrac{AE+BD}{2}=OC=4$

Vì $AE\perp DE, BD\perp DE\to ABDE$ là hình thang vuông tại $D, E$

$\to S_{ABDE}=\dfrac12DE\cdot (AE+BD)=DE\cdot \dfrac{AE+BD}{2}=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$

d.Gọi $BD\cap AC=F$

Ta có: $\widehat{CBF}=\widehat{CBD}=90^o-\widehat{DCB}=30^o=90^o-\widehat{CAB}=\widehat{CBA}$

$\to BC$ là phân giác $\widehat{ABF}$

Mà $BC\perp AC\to BC\perp AF$

$\to \Delta BAF$ cân tại $B$

Do $\hat A=60^o\to\Delta ABF$ đều

$\to AF=AB=BF$

Ta có: $AE//BD(\perp DE)$

$\to \dfrac{AK}{KF}=\dfrac{AE}{BF}$

$\to \dfrac{AK}{AK+KF}=\dfrac{AE}{AE+BF}$

$\to \dfrac{AK}{AF}=\dfrac{\dfrac12AC}{\dfrac12AC+AB}$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12AB}{\dfrac12\cdot \dfrac12AB+AB}$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{\dfrac14AB}{\dfrac54AB}$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac15$

$\to AK=\dfrac15AB$

$\to\dfrac{AB}{AK}=5$

Ta có $AE=\dfrac12AC=\dfrac12\cdot \dfrac12AB=\dfrac14AB$

$\to \dfrac{AB}{AE}=4$

Vì $5=1+4$

$\to \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AB}{AB}+\dfrac{AB}{AE}$

$\to \dfrac1{AK}=\dfrac1{AB}+\dfrac1{AE}$

$\to đpcm$