Đáp án:

Tứ giác BGCD là hình thoi

Giải thích các bước giải:

$\triangle ABC$ cân tại A

$\to AB=AC\\\to AN=BN=AM=CM$

Xét $\triangle BNC$ và $\triangle CMB$:

$BN=CM$ (cmt)

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ ($\triangle ABC$ cân tại A)

$BC$: chung

$\to\triangle BNC=\triangle CMB$ (c.g.c)

$\to \widehat{BCN}=\widehat{CBM}$ (2 góc tương ứng)

$\to\triangle BGC$ cân tại G

Gọi E là giao điểm của DG và BC

$\to$ E là trung điểm của DG, $DG\bot BC$ tại E (tính chất đối xứng qua đường thẳng)

$\to$ GE là đường cao đồng thời là trung tuyến của $\triangle BGC$

$\to$ E là trung điểm của BC

Xét tứ giác BGCD:

E là trung điểm của DG (cmt)

E là trung điểm của BC (cmt)

$\to$ Tứ giác BGCD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $DG\bot BC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác BGCD là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)