`a,`

`ABCD` là hình bình hành 

`->` $CD//AB, CD=AB$

`hat{A_1}=1/2 hat{DAB}`

`hat{D_1}=1/2hat{ADC}`

`hat{DAB}+hat{ADC}=180^o`

`->hat{A_1}+hat{D_1}=90^o`

`->hat{AFD}=90^o` hay `hat{EFG}=90^o`

Chứng minh tương tự : `hat{FEH}=90^o,hat{EHG}=90^o`

Tứ giác `EFGH` có : `hat{EFG}=90^o,hat{FEH}=90^o,hat{EHG}=90^o`

`->EFGH` là hình chữ nhật

`b,`

Gọi `V=AE∩ CD, L=CG∩ AB`

`hat{V_1}=hat{A_2}` (Do $CD//AB$) mà `hat{A_1}=hat{A_2}`

`->hat{A_1}=hat{V_1}`

`->\triangle ADV` cân tại `D` là `DF` là đường phân giác

`-> DF` là đường trung tuyến hay `F` là trung điểm của `AV`

Chứng minh tương tự `H` là trung điểm của `CL`

`EFGH` là hình chữ nhật `->` $EF//GH$ hay $AV//CL$

Tứ giác `AVCL` có : $AV//CL, CV//AL$

`->AVCL` là hình bình hành `-> CV=AL`

$CV//AL$ nên `AVCL` là hình thang

Hình thang `AVCL` có : `F,H` là trung điểm của `AV,CL`

`->FH` là đường trung bình

`->FH=(CV+AL)/2 = CV`

`CV = CD-DV = CD - AD = 6 - 4 = 2cm`

`->FH=2cm`

`c,`

Gọi `O=EG∩ FH`

`EFGH` là hình chữ nhật

`->EG=FH, O` là trung điểm của `EG, FH`

`-> OE=OF->\triangle EOF` cân tại `O`

`->hat{E_1}=hat{F_1}` mà `hat{F_1}=hat{A_2}`

`->hat{E_1}=hat{A_2}` mà `hat{A_1}=hat{A_2}`

`->hat{E_1}=hat{A_1} ->` $EG//AD$

Đặt `EF=x, EH=y`

`->x,y > 0`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `x,y` ta được :

`x+y \ge 2\sqrt{xy}`

`->(x+y)^2 \ge 4 xy`

`-> x^2+y^2\ge 2xy`

`->xy \le (x^2+y^2)/2`

`-> EF . EH \le (EF^2 + EH^2)/2 = (FH^2)/2=2cm`

`-> S_{EFGH}\le 2cm^2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `EF=EH`

`-> EFGH` là hình vuông

`->EG\bot EH` mà $FH// CD, EG//AD$

`-> CD\bot AD`

`-> ABCD` là hình chữ nhật

Vậy `ABCD` là hình chữ nhật để `EFGH` có diện tích lớn nhất là `2cm^2`