`a,`

`MD\bot AB,AB\bot AC`

`->` $MD//AC$

`\triangle ABC` có : $MD//AC, M$ là trung điểm của $BC$

`->D` là trung điểm của `AB`

`b,`

`MD\bot AB->hat{ADM}=90^o`

`ME\bot AC->hat{AEM}=90^o`

Tứ giác `ADME` có : `hat{DAE}=90^o,hat{ADM}=90^o,hat{AEM}=90^o`

`->ADME` là hình chữ nhật

`c,`

`H` đối xứng `M` qua `D` nên `D` là trung điểm của `HM`

`MD\bot AB` hay `HM\bot AB`

Tứ giác `AHBM` có : `D` là trung điểm của `HM,AB`

`-> AHBM` là hình bình hành mà `AB\bot HM`

`->AHBM` là hình thoi 

`-> BA` là phân giác `hat{HBM}`

`d,`

`AHBM` là hình vuông

`->` Hình thoi `AHBM` có `hat{HBM}=90^o`

`BA` là phân giác `hat{HBM}->hat{ABC}=1/2 . 90^o=45^o`

`hat{ABC}+hat{ACB}=90^o`

`->hat{ACB}=90^o-45^o=45^o`

`->hat{ABC}=hat{ACB}=45^o`

`->\triangle ABC` cân tại `A` mà `\triangle ABC` vuông tại `A`

`->\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `AHBM` là hình vuông

Đáp án:

 `a, D` là trung điểm của `AB`

`b, ADME` là hình chữ nhật

`c, AHBM` là hình thoi

`d, ABC` vuông cân tại `A`

Giải thích các bước giải:

 `a,` Vì `MD ⊥ AB`

Mà `AB ⊥ AC (\triangle ABC` vuông tại `A)`

`=> MD //// AC`

`\triangle ABC` có:

`MD //// AC`

`M` là trung điểm của `BC`

`=> D` là trung điểm của `AB`

`b,` Tứ giác `ADME` có:

`hat{BAC} = 90^o (\triangle ABC` vuông tại `A)`

`hat{MDA} = 90^o (MD ⊥ AB)`

`hat{MEA} = 90^o (ME ⊥ AC)`

`=> ADME` là hình chữ nhật

`c,` Tứ giác `AHBM` có:

`DA = DB` (D là trung điểm của `AB`)

`DH = DM` (H là điểm đối xứng của M qua D)

`=> AHBM` là hình bình hành

Mà `MD ⊥ AB`

Hay `HM ⊥ AB`

`=> AHBM` là hình thoi

`c,` Để `AHBM` là hình vuông

`=> HM = AB` (1)

`\triangle ABC` có:

Vì `D` là trung điểm của `AB`

`M` là trung điểm của `BC`

`=> DM` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=> DM = 1/2 AC`

Mà `DM = 1/2 HM` (`DM = HD = 1/2 HM`)

`=> HM = AC` (2)

(1),(2) `=> AB = AC`

`=> \triangle ABC` cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` thì `AHBM` là hình vuông

Ảnh minh họa: