a)

Biến ngẫu nhiên: $Z = X + Y.\ Z = -1,0,1,2,3$

$\bullet\quad Z = -1$

$\Rightarrow P(Z = -1) = P(X + Y = -1) = P(X = 0;Y = -1) = 0,12$

$\bullet\quad Z = 0$

$\Rightarrow P(Z = 0) = P(X + Y = 0) = P(X = 1;Y = -1) = 0,16$

$\bullet\quad Z = 1$

$\Rightarrow P(Z = 1) = P(X + Y = 1) = P(X = 0;Y = 1) +P(X = 2;Y = -1) = 0,18 + 0,12 = 0,3$

$\bullet\quad Z = 2$

$\Rightarrow P(Z = 2) = P(X + Y = 2) = P(X = 1;Y = 1)= 0,24$

$\bullet\quad Z = 3$

$\Rightarrow P(Z = 3) = P(X + Y = 3) = P(X = 2;Y = 1) = 0,18$

Bảng phân phối xác suất của biến $Z:$

$\begin{array}{c|ccc}Z&-1&0&1&2&3\\\hline P(Z)&0,12&0,16&0,3&0,24&0,18\\\end{array}$

Biến ngẫu nhiên: $U =XY.\ U = -2,-1,0,1,2$

$\bullet\quad U = -2$

$\Rightarrow P(U = -2) = P(X = 2;Y = -1) = 0,12$

$\bullet\quad U = -1$

$\Rightarrow P(U = -1) = P(X = 1;Y = -1) = 0,16$

$\bullet\quad U = 0$

$\Rightarrow P(U = 0) = P(X = 0;Y = -1) +P(X = 0;Y = 1) = 0,12 + 0,18 = 0,3$

$\bullet\quad U = 1$

$\Rightarrow P(U = 1) = P(X = 1;Y = 1) = 0,24$

$\bullet\quad U = 2$

$\Rightarrow P(U = 2) = P(X = 2;Y = 1) = 0,18$

Bảng phân phối xác suất của biến $U:$

$\begin{array}{c|ccc}U&-2&-1&0&1&2\\\hline P(U)&0,12&0,16&0,3&0,24&0,18\\\end{array}$

b)

Gọi $A_1$ là biến cố sinh viên gặp được là sinh viên năm thứ nhất: $P(A_1) = \dfrac{C_4^1}{C_{15}^1} = \dfrac{4}{15}$

$A_2$ là biến cố sinh viên gặp được là sinh viên năm thứ hai: $P(A_2) = \dfrac{C_5^1}{C_{15}^1} = \dfrac{1}{3}$

$A_3$ là biến cố sinh viên gặp được là sinh viên năm thứ ba: $P(A_3) = \dfrac{C_6^1}{C_{15}^1} = \dfrac{2}{5}$

$B$ là biến cố sinh viên gặp được là sinh viên tham gia đội tuyển của trường

Xác suất sinh viên gặp được tham gia đội tuyển của trường:

$P(B) = P(A_1).P(B/A_1) + P(A_2).P(B/A_2) +P(A_3).P(B/A_3)$

$\qquad\ = \dfrac{4}{15}\cdot 0,75 + \dfrac13\cdot 0,7 + \dfrac25\cdot 0,8$

$\qquad\ = \dfrac{113}{150}$

Xác suất sinh viên tham gia đội tuyển của trường là sinh viên năm nhất:

$P(A_1/B) = \dfrac{P(A_1).P(B/A_1)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{\dfrac{4}{15}\cdot 0,75}{\dfrac{113}{150}}$

$\qquad\qquad = 0,2655$

Xác suất sinh viên tham gia đội tuyển của trường là sinh viên năm nhất:

$P(A_2/B) = \dfrac{P(A_2).P(B/A_2)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot 0,7}{\dfrac{113}{150}}$

$\qquad\qquad = 0,3097$

Xác suất sinh viên tham gia đội tuyển của trường là sinh viên năm nhất:

$P(A_3/B) = \dfrac{P(A_3).P(B/A_3)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{\dfrac{2}{5}\cdot 0,8}{\dfrac{113}{150}}$

$\qquad\qquad = 0,4248$

Vậy sinh viên tham gia đội tuyển của trường vừa gặp khả năng là sinh viên năm ba nhiều nhất