Giải thích các bước giải:

a.Vì $P\in$Trung trực của BC

$\to PB=PC$ 

Ta có $AP$ là phân giác $\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\to PH=PK$

Mà $\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^o$

$\to\Delta PBH=\Delta PCK$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to BH=CK$

b.Ta có $PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^o$

$\to\Delta PHA=\Delta PKA$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to AH=AK$

$\to \Delta AHK$ cân tại A

Mà $AP$ là phân giác $\widehat{A}$
$\to AP\perp HK$

Qua B kẻ $BE//AK, E\in HK$

$\to \widehat{BEH}=\widehat{AKH}$

Do $\Delta AHK$ cân tại A $\to \widehat{AKH}=\widehat{AHK}$

$\to \widehat{BEH}=\widehat{BHE}\to BH=BE$

Mà $BH=CK\to BE=CK$

Lại có $BE//CK\to \widehat{EBM}=\widehat{MCK}$

Do M là trung điểm BC $\to MB=MC\to \Delta EBM=\Delta KCM(c.g.c)$

$\to \widehat{BME}=\widehat{KMC}$

$\to \widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^o$

$\to E,M,K$ thẳng hàng

$\to H,M,K$ thẳng hàng vì $E,H,K$ thẳng hàng

c.Do $PA\perp HK$(câu a)

$\to AP\perp HK=O$

Kết hợp $AH=AK\to O$ là trung điểm HK

$\to OH=OK$

$\begin{split}\to OA^2+OP^2+OH^2+OK^2&=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\\&=(OA^2+OH^2)+(OP^2+OH^2)\\&=AH^2+PH^2\\&=AP^2 , (PH\perp AB)\end{split}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a , vẽ hình

xét ΔBPHΔBPH và ΔCPKΔCPK có

BHPˆ=CKPˆ=90oBHP^=CKP^=90o 

HBPˆ=KCPˆHBP^=KCP^ 

=> ΔBPHΔBPH đồng dạng với ΔCPKΔCPK

=> BPCP=HPPHBPCP=HPPH 

hay BP.KP=CP.HP(đpcm)