Giải thích các bước giải:

a.Trên tia đối của tia $MA$ lấy $D$ sao cho $MA=MD$

Xét $\Delta MAB,\Delta MCD$ có:

$MA=MD$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$

$MB=MC$

$\to\Delta AMB=\Delta DMC(c.g.c)$

$\to AB=CD, \widehat{MAB}=\widehat{MDC}\to AB//CD$

Do $AB\perp AC\to AC\perp CD$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=CD^2+AC2=AD^2$

$\to BC=AD$

$\to BC=2AM\to AM=\dfrac12BC$

b.Ta có $MN\perp BC=M$ là trung điểm $BC$

$\to MN$ là trung trực của $BC$

$\to NB=NC$

$\to\Delta NBC$ cân tại $N$

$\to \widehat{ANB}=\widehat{NCB}+\widehat{NBC}=\widehat{NCB}+\widehat{NCB}=2\widehat{NCB}=2\widehat{ACB}$

Vì $M$ là trung điểm $BC$

$\to MA=\dfrac12BC=MB=MC$

$\to\Delta MAC$ cân tại $M$

$\to\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=\widehat{MCA}+\widehat{MCA}=2\widehat{MCA}=2\widehat{ACB}$

$\to\widehat{AMB}=\widehat{ANB}(=2\widehat{ACB})$

c.Xét $\Delta BAI,\Delta BAN$ có:

Chung $BA$

$\widehat{BAI}=\widehat{BAN}(=90^o)$

$AI=AN$

$\to\Delta BAI=\Delta BAN(c.g.c)$

$\to BI=BN$
Mà $NB=NC\to BI=NC$

Mặt khác $\widehat{BIA}=\widehat{BNA}=2\widehat{ACB}$

$\to \widehat{IHA}+\widehat{IAH}=2\widehat{ACB}$

$\to\widehat{IHA}+\widehat{MAC}=2\widehat{ACB}$

$\to\widehat{IHA}+\widehat{MCA}=2\widehat{ACB}$

$\to\widehat{IHA}+\widehat{ACB}=2\widehat{ACB}$

$\to\widehat{IHA}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{IHA}=\widehat{MCA}=\widehat{MAC}=\widehat{IAH}$

$\to\Delta IAH$ cân tại $I\to IH=IA$

Mà $IA=AN\to IH=AN$

$\to BH=BI+IH=CN+NA=CA$