$a,$

$\begin{cases} HD\bot MN\\HE\bot MP \end{cases}\to \begin{cases} \widehat{MDH}=90^o\\\widehat{MEH}=90^o \end{cases}$

Tứ giác $MDHE$ có : $\begin{cases} \widehat{MDH}=90^o\\\widehat{DME}=90^o\\\widehat{MEH}=90^o \end{cases}$

$\to MDHE$ là hình chữ nhật

$b,$

Gọi $O=MH∩ DE$

$MDHE$ là hình chữ nhật $\to \begin{cases} MH=DE\\\text{O là trung điểm của MH,DE} \end{cases}$

$\begin{cases}OH=\dfrac{MH}{2}\\OE=\dfrac{DE}{2} \end{cases}$ mà $DE=MH$

$\to OH=OE$

$\to \triangle OHE$ cân tại $O$

$\to \widehat{MHE}=\widehat{DEH}$

$\triangle DEP$ vuông tại $E$ có $EA$ là đường trung tuyến

$\to EA=\dfrac{1}{2}HP$ mà $AH=\dfrac{1}{2}HP$

$\to EA=AE$

$\to\triangle AEH$ cân tại $A$

$\to \widehat{EHP}=\widehat{HEA}\\\widehat{MHE}+\widehat{EHP}=90^o\\\to \widehat{DEH}+\widehat{AEH}=90^o\\\to \widehat{DEA}=90^o$

$\to \triangle DEA$ vuông tại $E$

$c,\\DE=2EA$

Mà $2EA=HP$

$\to DE=HP\\\to MH=HP$

$\to \triangle MHP$ vuông cân tại $H$

$\to \widehat{MPN}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\\\to  \widehat{MNP}=45^o\\\to \widehat{MNP}=\widehat{MPN}=45^o$

$\to \triangle MNP$ vuông cân tại $M$

Vậy $\triangle MNP$ vuông cân tại $M$ để $DE=2EA$