Đáp án:

a) Tứ giác AIMK là hình chữ nhật

b) $BC=2QI$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AIMK:

$\widehat{IAK}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AIM}=90^o\,\,\,(MI\bot AB)\\\widehat{AKM}=90^o\,\,\,(MK\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AIMK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)

Xét $\triangle ABC$:

$MI//AC\,\,\,(\bot AB)$

M là trung điểm của AB (gt)

$\to$ MI là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ I là trung điểm của AB

Chứng minh tương tự

$\to$ K là trung điểm của AC

Xét $\triangle ABC$:

I là trung điểm của AB (cmt)

K là trung điểm của AC (cmt)

$\to$ IK là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to IK=\dfrac{1}{2}BC$

Tứ giác AIMK là hình chữ nhật (cmt)

$\to IM\bot MK\to IP\bot QK$

Xét tứ giác IQKP:

M là trung điểm của IP (gt)

M là trung điểm của QK (gt)

$\to$ Tứ giác IQKP là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $IP\bot QK$ (cmt)

$\to$ Tứ giác IQKP là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

$\to IQ=IK\\\to IQ=\dfrac{1}{2}BC\\\to BC=2IQ$