a) ABCD là hình chữ nhật

⇒ AC = BD

Mà O là giao điểm của AC và BD

⇒ AO = CO = BO = DO

ΔAOB có :
+) AO = BO (cmt)

⇒ ΔAOB là Δ cân tại O

Mà M là trung điểm của AB (gt)

⇒ OM là đường trung trực của Δ cân AOB

⇒ OM là đường cao của Δ cân AOB
⇒ OM ⊥ AB hay ON ⊥ AB 

Xét tứ giác AONB có :
+) M là trung điểm của AB (gt)

+) M là trung điểm của ON (O đối xứng N qua M)

+) AB ⊥ ON 

⇒ AONB là hình thoi

b) AONB là hình thoi 

⇒ NB // AO và NB = AO

NB // AO ⇒ NB // CO (1)

NB = AO mà AO = OC (cm a) ⇒ NB = OC (2)

Từ (1) và (2) 

⇒ NBCO là hình bình hành (DHNB)

⇒ NO = BC

AB = 8cm

⇒ AM = $\frac{1}{2}$AB = 4cm

AB ⊥ ON (cm a)

⇒ NM ⊥ AB hay NM ⊥ AM

⇒ Δ ANM vuông tại M

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho ΔANM ta được :

$MN^2 = AN^2 - AM^2 = 5^2 - 4^2 = 9$

$⇒MN = 3$

mà MO = NM (M là trung điểm ON)

⇒ MO = 3cm

⇒ NO = NM + MO = 6cm

mà NO = BC (cmt)

$S_{ABCD} = AB.BC=8.6=48cm^2$ 

Kết luận
^^

$\\$