$\\$

Đặt $\begin{cases} p+q=a^2\\p+4q=b^2 \end{cases}$ `(a,b>0,a<b)`

`b^2-a^2=p+4q - p - q=3q`

`=>(b-a)(a+b)=3q = 1 . 3q = 3.q`

Trường hợp 1 :

`b-a=1, a+b=3q`

`<=> b=a+1, 2a+1 = 3q`

`2a+1=3q`

`<=> q = (2a+1)/3`

`p+q=a^2(a>0)`

`<=> p=a^2-q`

           `= a^2 - (2a+1)/3`

           `= (3a^2)/3 - (2a+1)/3`

           `= (3a^2-2a-1)/3`

           `= (3a^2+ a-3a-1)/3`

           `= (a(3a+1)-(3a+1))/3`

           `= ((3a+1)(a-1))/3`

Do đó : `a-1=3` (Do `p` là số nguyên tố)

`=>a=4,   b=5,q=3`

Với `q=3=>p=13`

Trường hợp 2 :

`b-a=3, b+a=q`

`<=> b=3+a, 2a+3=q`

`p+q=a^2`

`<=> p=a^2-q`

`<=> p=a^2-2a-3`

`<=>p=a^2-3a+a-3`

`<=>p=a(a-3)+(a-3)`

`<=>p=(a-3)(a+1)`

Do đó : `a-3=1` (Do`p` là số nguyên tố)

`<=>a=4`

Do đó : `b=7, p=5`

Với `p=5=>q=11`

Thử lại 2 trường hợp trên ta thấy đều thỏa mãn

Vậy `(p;q)=(13;3), (5;11)`

Bạn tham khảo !

Theo đề ta có:

`->{(p+q=a^2),(p+4q=b^2),(a;b\inNN**):}`

`->b^2-a^2=3q`

`<=>(b-a)(b+a)=3q`

Từ `q` là số nguyên tố và `a+b>=2` nên ta có các trường hợp sau:

`TH1:`

`->{(b-a=1),(b+a=3q):}`

`->b=a+1` và `2a+1=3q`

`->q` là số lẻ 

Ta viết:

`q=2k+1(k\inNN*)`

Khi đó:`2a=3q-1=6k+2` 

Hay `a=3k+1` và `p=a^2-q=9k^2+4k=k(9k+4)`

Do `p` nguyên tố nên `k=1` và `p=13;q=3`

`TH2:`

`->{(b-a=3),(b+a=q'):}`

`->b=a+3` và `q=2a+3`

Lại có:

`p=a^2-q=a^2-2a-3=(a+1)(a-3)`

Do `p` nguyên tố 

Nên `a=4` và  `p=5;q=11`

`TH3:`

`->{(b-a=a),(b+a=3):}`

Và `b>a>1`

`->b=2` và `a=1` khi đó `q=1` không phải là số nguyên tố 

Vậy `(p;q)=(13;3),(5;11)`