\(\begin{array}{l}
\textbf{Câu 18:}\\
\quad z(x,y) = x^2 + 3y^2 - xy + 5x + 3y\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:}\\
\quad\ \begin{cases}z_x' =0\\z_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2x - y + 5 =0\\6y - x + 3 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}\\
\Rightarrow\ \text{Hàm số có 1 điểm dừng}\ M(-3;-1)\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = z_{xx}'' = 2\\B = z_{xy}'' = -1\\C = z_{yy}'' = 6\end{cases}\\
\text{Ta có:}\\
B^2 - AC = -11 <0\ \text{và}\ A = 2 >0\\
\text{Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $M(-3;-1);\ z_{\min} = z(-3;-1) = -9$}\\
\textbf{Câu 19:}\\
\quad z(x,y) = x - e^{xy}\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:}\\
\quad\ \begin{cases}z_x' =0\\z_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}1 - ye^{xy} = 0\\-xe^{xy} = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x = 0\\y =1\end{cases}\\
\Rightarrow\ \text{Hàm số có 1 điểm dừng $M(0;1)$}\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = z_{xx}''= -y^2e^{xy}\\B = z_{xy}'' = -e^{xy}(xy+1)\\C = z_{yy}'' = -x^2e^{xy}\end{cases}\\
\text{Tại $M(0;1)$ ta có:}\\
\begin{cases}A = -1\\B = -1\\C = 0\end{cases}\\
\Rightarrow B^2 - AC = 1>0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M(0;1)$}\\
\text{Vậy hàm số không có cực trị}\\
\textbf{Câu 20:}\\
\quad z(x,y) = x^2 + 2y^2\ \ \text{với}\ x + y + 3 =0\\
\text{Ta có:}\\
\quad x + y + 3 =0\\
\Leftrightarrow x= -y - 3\\
\text{Thay vào $z(x,y)$ ta được:}\\
z(-y-3,y) = (-y-3)^2 + 2y^2 = 3y^2 + 6y + 9\\
\Rightarrow z' = 6y + 6\\
z' = 0 \Leftrightarrow y = -1\Rightarrow x = -2\\
\text{Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(-2;-1);\ z_{\min} = z(-2;-1) = 6$}
\end{array}\)