1) Ta có $\widehat{ONP}=90^o$ (do NP là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{OMP}=90^o$ (giả thiết)

$\Rightarrow N, M$ cùng nhìn cạnh $PO$ dưới một góc bằng $90^o$

nên $OMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính (PO)

2) Do $AB, CD$ là hai đường kính vuông góc với nhau nên $AB\bot CD$ và có $MP\bot AB$ (giả thiết)

Nên $MP//OC$ (1)

Ta có: $\widehat{OPM}=\widehat{ONM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MO của đường tròn đường kính (PO))

Mà $\widehat{ONM}=\widehat{OCN}$ (do $\Delta ONC$ cân đỉnh O (ON=OC=R))

Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{OPM}=\widehat{OCM}$

$\Rightarrow \widehat{POM}=\widehat{CMO}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{OPM}=\widehat{OCM}$ cmt) mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow PO//MC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CMPO$ là hình bình hành.

3) Xét $\Delta CNO$ và $CDM$ có:

$\widehat C$ chung

$\widehat{CNO}=\widehat{CDM}$ (cùng $=\widehat{OCN}$, $\Delta MDO$ cân đỉnh M vì có MO vừa là trung truyến và đường cao)

$\Rightarrow \dfrac{CN}{CD}=\dfrac{CO}{CM}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CN.CM=CD.CO=2R.R=2R^2$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

4) Tứ giác $CMPO$ là hình bình hành nên $PM=OC=DO$

mà $PM//OD$

$\Rightarrow PMOD$ là hình bình hành có thêm $\widehat{PMO}=\widehat{MOD}=90^o$

Nên $PMOD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{PDO}=90^o\Rightarrow PD\bot OD$

$\Rightarrow PD$ là tiếp tuyến của (O) tiếp điểm D là đường thẳng cố định.