Đáp án:

a) $\triangle ABC$ vuông tại A

b) $\widehat{B}=53,1^o;\widehat{C}=36,9^o$

c) $BD=\dfrac{30}{7}cm, DC=\dfrac{40}{7}cm$

d)

Tứ giác AEDF là hình vuông

Chu vi tứ giác AEDF là $\dfrac{96}{7}cm$

Diện tích tứ giác AEDF là $\dfrac{576}{49}cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có:

$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\\BC^2=10^2=100$

$\to AB^2+AC^2=BC^2\,\,\,(=100)$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A (định lý Pytago đảo)

b)

Ta có:

$\sin{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\\\to \widehat{B}≈53,1^o\\\sin{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to \widehat{C}=36,9^o$

c)

Xét $\triangle ABC$, đường phân giác AD:

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\\\to \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\\\to BD=\dfrac{3}{4}DC$

Ta có:

$BD+DC=BC=10cm\\\to \dfrac{3}{4}DC+DC=10\\\to 3DC+4DC=40\\\to DC=\dfrac{40}{7}(cm)\\\to BD=\dfrac{3}{4}.\dfrac{40}{7}=\dfrac{30}{7}(cm)$

d)

Xét tứ giác AEDF:

$\widehat{EAF}=90^o$ ($\triangle ABC$ vuông tại A)

$\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Mà AD là phân giác của $\widehat{EAF}$ (gt)

$\to$ Tứ giác AEDF là hình vuông (hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc(

Xét $\triangle BED$ vuông tại E:

$\sin{B}=\dfrac{ED}{BD}\\\to ED=BD\sin{B}=\dfrac{30}{7}.\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{7}(cm)$

$\to$ Chu vi tứ giác AEDF:

$AE+ED+DF+FA=4ED=4.\dfrac{24}{7}=\dfrac{96}{7}(cm)$

$\to$ Diện tích tứ giác AEDF:

$ED.DF=ED^2=\left(\dfrac{24}{7}\right)^2=\dfrac{576}{49}(cm^2)$