$a) ΔADE$ cân tại $A$

$⇒ ∠D = ∠E$

$⇒ AD=AE$

$ΔADB = ΔAEC (c-g-c)$

$⇒ AB = AC$

$⇒ ΔABC$ là $Δ$ cân

$b) ΔBMD ⊥ M$

Và $ΔCNE ⊥ N$

$∠M = ∠N = 90^0$

$∠D = ∠E$

$BD = CE$

$⇒ BMD = CNE (ch-gn)$

$⇒ BM = CN$

$c) ΔBMD = ΔCNE$

$⇒ ∠MBD = ∠NCE$

$⇒ ∠CBI = ∠BCI$

$⇒ ΔIBC$ cân tại $I$

$d) $Lấy $H$ là trung điểm $BC $

$ΔABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường trung tuyến ứng với $BC$

$⇒ AH$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao ứng với $BC$

$⇒ A,I,H$ thẳng hàng

$⇒ AI$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao $ΔABC$ cân tại $A$

$⇒ đpcm$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ΔADE cân tại A nên ∠D =∠E

Xét ΔABD và ΔACE, ta có:

AD = AE (gt)

∠D =∠E (chứng minh trên)

DB=EC (gt)

Suy ra: ΔABD= ΔACE(c.g.c)

Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy: ΔABC cân tại A

Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:

(BMD) =(CNE) =90^o

BD = CE (gt)

∠D =∠E (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBMD= ΔCNE(cạnh huyền,góc nhọn)

Ta có: ΔBMD=ΔCNE(chứng minh trên)

Suy ra: ∠DBM =∠ECN (hai góc tương ứng)

∠DBM =∠IBC (đối đỉnh)

∠ECN =∠ICB (đối đỉnh)

Suy ra: ∠IBC =∠ICB hay ΔIBC cân tại I

Xét ΔABI và ΔACI, ta có:

AB = AC (chứng minh trên)

IB = IC ( vì ΔIBC cân tại I)

AI cạnh chung

Suy ra: ΔABI= ΔACI(c.c.c) =>∠BAI =∠CAI ̂(hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của góc ∠BAC