Đáp án:

a)

Tứ giác ANMC là hình bình hành

Tứ giác AMBN là hình thoi

b) $S_{AMBN}=12cm^2$

c) Để tứ giác AMBN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của BC (gt)

I là trung điểm của AB (gt)

$\to$ MI là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MI//AC\\\to MI=\dfrac{1}{2}AC$

Ta có: $MN=MI+IN=2MI\to MI=\dfrac{1}{2}MN$

$\to AC=MN$

Xét tứ giác ANMC:

$MN//AC\,\,\,(MI//AC)$

$MN=AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác ANMC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: $MI//AC, AC\bot AB$

$\to MI\bot AB\to MN\bot AB$

Xét tứ giác AMBN:

I là trung điểm của AB (gt)

I là trung điểm của MN (gt)

$\to$ Tứ giác AMBN là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $MN\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBN là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau)

b)

Ta có: $MN=AC=6(cm)$

$\to$ Diện tích tứ giác AMBN:

$S_{AMBN}=\dfrac{1}{2}.AB.MN=\dfrac{1}{2}.4.6=12(cm^2)$

c)

Tứ giác AMBN là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác AMBN là hình vuông

$\to AM\bot MB$

hay $AM\bot BC$

Mà AM là đường trung tuyến

$\to\triangle ABC$ cân tại A (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

$\to$ Để tứ giác AMBN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A