Đáp án:

a) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) Tứ giác BIDC là hình thang cân

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác ABDC:

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (gt)

$\to$ Tứ giác ABDC là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $AB\bot AC$ (gt)

$\to$ Tứ giác ABDC là hình chữ nhật

$\to AB//DC\\\to \widehat{ABC}=\widehat{DCB}$

b)

I đối xứng với A qua B, H là giao điểm của AI và BC (gt)

$\to BC\bot AI$ tại H

$\to$ H là trung điểm của AI

Xét $\triangle ABI$:

$BH\bot AI\,\,\,(BC\bot AI)$

$AH=HI$ (cmt)

$\to$ BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle ABI$

$\to\triangle ABI$ cân tại B

$\to$ BH đồng thời là phân giác của $\widehat{ABI}$

$\to \widehat{ABH}=\widehat{IBH}$

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ (cmt)

$\to \widehat{IBH}=\widehat{DCB}$

Xét $\triangle AID$:

H là trung điểm của AI (gt)

M là trung điểm của AD (gt)

$\to$ HM là đường trung bình của $\triangle AID$

$\to HM//ID\\\to ID//BC\,\,\,(H, M\in BC)$

$\to$ Tứ giác BIDC là hình thang

Mà $\widehat{IBC}=\widehat{DCB}\,\,\,(\widehat{IBH}=\widehat{DCB}, H\in BC)$

$\to$ Tứ giác BIDC là hình thang cân (hình thang có 2 góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau)