Đáp án:

a) Tứ giác ANFM là hình chữ nhật

b) $S_{AFCH}=6cm^2$

c) Để tứ giác ANFM là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

H đối xứng với F qua AC, H là giao điểm của HF và AC (gt)

$\to$ N là trung điểm của FH

$\to$ AC vuông góc với FH tại N

$\to FN\bot AC$

Xét tứ giác ANFM:

$\widehat{MAN}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)$

$\widehat{AMF}=90^o\,\,\,(FM\bot AB)$

$\widehat{ANF}=90^o\,\,\,(FN\bot AC)$

$\to$ Tứ giác ANFM là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)

Xét $\triangle ABC$:

$FN//AB\,\,\,(\bot AC)$

F là trung điểm của BC (gt)

$\to$ FN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to FN=\dfrac{1}{2}AB$

$\to$ N là trung điểm của AC

$\to AN=NC=\dfrac{AC}{2}$

Chứng minh tương tự

$\to AM=MB=\dfrac{AB}{2}$

Xét tứ giác AFCH:

N là trung điểm của FH (cmt)

N là trung điểm của AC (cmt)

$\to$ Tứ giác AFCH là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $FH\bot AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AFCH là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau)

Ta có:

$FH=FN+NH=2FN\to FN=\dfrac{1}{2}FH\\\to FH=AB\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}FH\right)$

$\to S_{AFCH}=\dfrac{1}{2}.FH.AC=\dfrac{1}{2}.3.4=6(cm^2)$

c)

Tứ giác ANFM là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác ANFM là hình vuông

$\to AM=AN\\\to \dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2}\\\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác ANFM là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A