Giải thích các bước giải:

 a) Xét ΔAHB và ΔADH, ta có:

$\widehat{AHB}$=$\widehat{ADH}$=90 độ

$\widehat{ABH}$=$\widehat{AHD}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$)

⇒ ΔAHB đồng dạng ΔADH (góc.góc)

⇒ $\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}$ (tỉ lệ)

⇔AH²=AD.AB (đpcm)

b) Xét ΔAHE và ΔACH, ta có:

$\widehat{AEH}$=$\widehat{AHC}$=90 độ

$\widehat{HAC}$ chung

⇒ΔAHE đồng dạng ΔACH (góc.góc)

⇒$\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AH}$ 

⇒AH²=AC.AE 

mà AH²=AD.AB (câu a) 

Suy ra AC.AE=AD.AB (đpcm)

Xét ΔAED và ΔABC, ta có:

$\widehat{EAD}$ chung

$\frac{AE}{AB}= \frac{AD}{AC}$

⇒ΔAED đồng dạng ΔABC (cạnh.góc.cạnh)

c) Gọi O là giao điểm của AM và DE

ADHE có $\widehat{A}$=$\widehat{D}$=$\widehat{E}$=90 độ nên ADHE là hình chữ nhật.

⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{DEH}$ (so le trong) mà $\widehat{DEH}$=$\widehat{AHE}$ (tính chất hình chữ nhật tạo ra 4 tam giác cân)

⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{AHE}$

$\widehat{ADE}$=$\widehat{MAE}$(cùng phụ $\widehat{DAM}$) ⇒$\widehat{MAE}$=$\widehat{AHE}$ (1)

ta có $\widehat{AHE}$=$\widehat{C}$ (cùng phụ $\widehat{EHC}$) (2)

(1) và (2) ⇒$\widehat{C}$=$\widehat{MAE}$ ⇒ ΔMAC cân tại M ⇒AM=MC (3)

Ta có $\widehat{B}$ phụ với $\widehat{C}$ và $\widehat{BAM}$ phụ với $\widehat{MAC}$ mà $\widehat{C}$=$\widehat{MAC}$

nên $\widehat{B}$=$\widehat{BAM}$ ⇒ΔABM cân tại M ⇒AM=BM (4)

(3) và (4) ⇒MB=MC hay M là trung điểm BC (đpcm)

d) ΔABC vuông tại A, áp dụng Pytago:

BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$ 

⇒ BC=25

Ta chứng minh được ΔABC đồng dạng  Δ HAC 

⇒$\frac{AB}{AH}=\frac{BC}{AC}$ 

⇒ AH=$\frac{AC.AB}{BC}$ =$\frac{15.20}{25}$=12

AH²=AD.AB (câu a) ⇒AD=$\frac{AH^{2}}{AB}$ =$\frac{12^{2}}{15}$=9,6

Ta có AD.AB=AE.AC (câu b) 

⇒AE=$\frac{AD.AB}{AC}$ =$\frac{9,6.15}{20}$=7,2

Diện tích ΔAED=$\frac{1}{2}.AD.AE$ =34,56.

Đáp án:

 a, Xét tam giác AHB và tam giác ADH có:

   AHB^=ADH^(= 90 độ )

   HAB^ chung

=>tam giác AHB ~ tam giác ADH (gg)

=>$\frac{AH}{AD}$ =$\frac{AB}{AH}$ 

=> $AH^{2}$ =AB.AD

b, Xét tam giác AHE và tam giác ACH, ta có:

AEH^=∠AHC^ (= 90 độ)

HAC^ chung

=> tam giác AHE ~ tam giác ACH (gg)

=>AH/AC=AE/AH

=>AH²=AC.AE 

lại có: AH²=AD.AB (cm a) 

nên ta được : AC.AE=AD.AB 

=>AE/AD=AB/AC

Xét tam giác AED và tam giác ABC, ta có:

AE/AD=AB/AC (cmt)

EAD^ chung

=>tam giác AED ~ tam giác ABC (cgc)

c) Trong tứ giác ADHE có:

A^=90 độ

D^=90 độ

E^=90 độ 

=> ADHE là hình chữ nhật.

=>AD//HE

=>ADE^=DEH^  (2 góc so le trong)

Lại có:  DEH^=AHE^ (vì AADHE là hcn)

=>ADE^=AHE^ 

mà ADE^=MAE^(cùng phụ với DAM^)

=>MAE^=AHE^ 

    và có AHE^=C^ (cùng phụ với EHC^) 

=> MAE^=C^

=> tam giác MAC cân tại M

=>AM=MC (1)

Ta có: ABC^ phụ với ACB^ 

          BAM^ phụ với MAC^

          ACB^=MAC^

=>ABC^=BAM^

=> tam giác ABM cân tại M

=> AM=BM (2)

Từ (1) và (2) ta được: MB=MC 

=> M là trung điểm BC 

d, áp dụng Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: 

BC^2=AB^2+AC^2

=> BC^2=15^2+20^2

=>BC=25

Ta có  tam giác ABC ~ tam giác  HAC (gg) do:

   BAC^=AHC^ (= 90 độ)

   BAC^ chung

=> AB/AH=BC/AC

=>  AH= AB.AC/BC

            =15.20/25

=> AH=12

mà AH²=AD.AB (cm a)

=> AD=AH²/AB=12²/15

=> AD=9,6

Ta có :AD.AB=AE.AC (cm b) 

=> AE=AD.AB/AC=9,6.15/20

=> AE=7,2

Vì tam giác ADE là tam giác vuông tại A nên ta có:

diện tích tam giác AED =1/2 AD.AE =34,56 (cm vuông)

Giải thích các bước giải: