Đáp án:

 câu 1: a. A = (x/(x-2)(x+2) + x-2/(x-2)(x+2) - 2(x+2)/(x-2)(x+2) ). 2/x+2

            A=  x+x-2-2x-4/(x-2)(x+2) . x+2/2

            A = -6/(x-2)(x+2) . x+2/2 = -3/x-2

b. Khi x = -4 suy ra A = -3/-4-2 = 1/2

c. Để A thuộc Z suy ra (x-2) thuộc Ư(-3) = {1;-3}

th1: x-2=1 

    -> x = 3

th2: x-2 = -3

-> x = -1 

-> x thuộc {3;-1}

câu 2:

a. vì AB vuông với AC

DN vuông với AC

suy ra AB // DN 

hay AB // DM

Xét tam giác BHA và tam giác MHD có:

góc BHA = MHD (đối đỉnh)

HA = HD (gt)

góc BAH = góc MDH (so le trong)

suy ra tam giác BHA = tam giác MHD (g.c.g)

Xét tứ giác ABDM có:

BH = HM (cmt)

AH = HD (gt)

BM vuông với AD tại H

suy ra ABDM là hình thoi 

b. Xét tam giác ACD có: 

CH vuông với AD 

DN vuông với AC

CH giao DN tại M

suy ra M là trực tâm tam giác ACD

suy ra AM vuông với CD

c. Vì tam giác MNC vuông tại N có I là tđ' MC 

suy ra NI = IM = IC

suy ra tam giác IMN cân tại I 

suy ra góc IMN = góc INM

mà góc IMN = góc ABC (đồng vị)

suy ra góc INM = góc ABC 

Vì tam giác NDA vuông tại N có H là tđ' AD

suy ra HD = HN

suy ra tam giác HND cân tại H

suy ra góc HND = góc HDN

hay góc HND = góc ADN 

mà góc ADN + góc DAN = 90 độ

góc HCA + góc DAN = 90 độ

suy ra góc ADN = góc HCA 

hay góc ADN = góc BCA 

suy ra góc HND = góc BCA 

Ta có: góc ABC + góc BCA = 90 độ 

suy ra góc INM + góc HND = 90 độ

hay góc HNI = 90 độ

suy ra HN vuông với NI (đpcm)

Bài 2: a, Xét $ΔABH$ và  $ΔADH$ có:

$AH=HD$

$∠AHB=∠MHD$

$∠BAH=∠HDM$

$=>ΔABH=ΔDMH$

$=>AB=DM$

$=>ABDM$ là HBH

 Và: $AH⊥BM$

$=>ABDM$ là hình thoi.

b, Vì: $DN//AB$

Và: $AM⊥AC$

$=> DN⊥AC$

$=>M$ là trực tâm

$=>AM⊥CD$

c, Xét $ΔAHC$ vuông tại $H$ có: $HN⊥AC$

$=>HN=NC=>ΔHCN$ cân tại $N$ 

$=>∠NHC=∠NCH$

$ΔNMC$ vuông tại $N=>NI=IM=>∠INM=∠NMI$ 

Mà: $∠NMI+∠NCH=90^0=>∠NHC+∠MNI=90^0=>∠HNI=90^0$

$=>Đpcm$