Câu 14

Ta có

$\vec{IA} = \vec{CA} - \vec{CI}$

$= \vec{CA} - \vec{CM} + \vec{MI}$

$= \vec{CA} - \dfrac{1}{2} \vec{CB} + \dfrac{1}{2} \vec{MA}$ (do I là trung điểm AM)

$= \vec{CA} - \dfrac{1}{2} \vec{CB} - \dfrac{1}{2} \vec{AM}$

$= \vec{CA} - \dfrac{1}{2} \vec{CB} - \dfrac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{CM})$

$= \vec{CA} - \dfrac{1}{2} \vec{CB} - \dfrac{1}{2} (\vec{CM} - \vec{CA})$

$= \vec{CA} - \dfrac{1}{2} \vec{CB} - \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2} \vec{CB} - \vec{CA})$ (do M là trung điểm BC)

$= \dfrac{3}{2} \vec{CA} -\dfrac{3}{4} \vec{CB}$

Vậy $\vec{IA} =\dfrac{3}{2} \vec{CA} -\dfrac{3}{4} \vec{CB}$.

Bài 15

Ta có

$\vec{AB} =(3, -2), \vec{CA} = (q+1,1), \vec{CB} = (q-2, 3)$

Khi đó, chu vi của tam giác ABC là

$AB + BC + CA = \sqrt{3^2 + 2^2} + \sqrt{(q+1)^2 + 1} + \sqrt{(q-2)^2 + 3^3}$

$= \sqrt{13} + \sqrt{q^2 + 2q + 2} + \sqrt{q^2 - 4q +13}$

Để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì $\sqrt{q^2 + 2q + 2} + \sqrt{q^2 - 4q +13}$ phải nhỏ nhất.

Đặt $A = \sqrt{q^2 + 2q + 2} + \sqrt{q^2 - 4q +13}$. 

Ta có BDT
$\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$

Áp dụng vào ta có

$A = \sqrt{q^2 + 2q + 2} + \sqrt{q^2 - 4q +13}$

$\geq \sqrt{2q^2 -2q + 15}$

Lại có

$2q^2 - 2q + 15 = (q\sqrt{2} -\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2 + \dfrac{29}{4} \geq \dfrac{29}{4}$

Do đó

$A = \sqrt{q^2 + 2q + 2} + \sqrt{q^2 - 4q +13} \geq \sqrt{\dfrac{29}{4}} = \dfrac{\sqrt{29}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $q\sqrt{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ hay $q = \dfrac{1}{2}$

Vậy $C=(\dfrac{1}{2}, 0) $ thì chu vi của tam giác ABC là nhỏ nhất.