Đáp án:

$\dfrac{a³\sqrt3}{18}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC,G$ là trọng tâm của $\Delta ABC\Rightarrow A'G\bot(ABC)$ (vì giả thiết cho $A'ABC$ là hình chóp tam giác đều: đáy là tam giác đều, các mặt bên( hoặc là cạnh bên) bằng nhau, hình chiếu từ đỉnh chóp xuống đáy trùng với tâm tam giác đều) khi đó ta có:

$\begin{cases}BC\bot A'G\text{ (do }A'G\bot(ABC))\\BC\bot AM \text{ (tam giác ABC đều M là trung điểm BC)}\end{cases}$

$\Rightarrow BC⊥(A′AM)$ 

Trong $\Delta A'AM$ dựng $MH⊥AA′$ suy ra $MH$ là đoạn vuông góc chung của BC và AA’

Suy ra $MH=\dfrac{a\sqrt3}{4}$

Ta có: $d(G;AA′)=\dfrac23d(M;AA′)$ (do $GA=\dfrac23MA$)

$=\dfrac{a\sqrt3}6=d$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta A'GA\bot G$ độ dài đường cao hạ từ đỉnh G là $d$

$⇒\dfrac1{d²}=\dfrac1{GA²}+\dfrac1{A′G²}$ $⇒A′G=\dfrac a3$

Vậy $V_{ABC.A′B′C′}=S_{ABC}.A′G=\dfrac {a.a\sin60^o}{2} .\dfrac a3=\dfrac{a³\sqrt3}{12}$

Lăng trụ $ABCA'B'C'$ được chia thành hai hình chóp là hình chóp tam giác $A'ABC$  và hình chóp tứ giác $A'BB'C'C$
Mà $V_{A'ABC}=\dfrac13.A'G.S_{ABC}=\dfrac13V_{ABCA'B'C'}$
$\Rightarrow V_{A'BB'C'C}=V_{ABCA'B'C'}-V_{A'ABC}$

$=V_{ABCA'B'C'}-\dfrac13V_{ABCA'B'C'}=\dfrac23V_{ABCA'B'C'}$

Vậy $V_{A'BB'C'C}=\dfrac23V_{ABC.A'B'C'}=\dfrac {a³\sqrt3}{18}$.