Đáp án:

Không tồn tại giới hạn đã cho

Giải thích các bước giải:

$\quad L=  \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sqrt[3]{(1 -\sin x)^2}}$

Đặt $t = x -\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow x = t+\dfrac{\pi}{2}$

Ta được:

$\quad L = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sqrt[3]{\left[1-\sin\left(t +\dfrac{\pi}{2}\right)\right]^2}}$

$\Leftrightarrow L = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{-\sin t}{\sqrt[3]{(1-\cos t)^2}}$

Áp dụng VCB tương đương khi $t\to 0$ ta được:

$\sin t\sim t$

$1-\cos t \sim \dfrac{t^2}{2}$

Khi đó:

$\quad L = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{-t}{\sqrt[3\uproot5]{\left(\dfrac{t^2}{2}\right)^2}}$

$\Leftrightarrow L = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{-\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{t}}$

$\bullet\quad \lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{-\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{t}}= -\infty$

$\bullet\quad \lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{-\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{t}}= +\infty$

Do đó không tồn tại $\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{-\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{t}}$

Hay $\lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sqrt[3]{(1 -\sin x)^2}}$ không tồn tại