Đáp án:

\( 0< m < 4.\)

Giải thích các bước giải:

\({x^3} - 3{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} =  - m\)

Số nghiệm của phương trình bài cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y =  - m.\)

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt.

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow  - 4 <- m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4.\)