Giải thích các bước giải:

a.Vì BD,CE là đường cao $\Delta ABC\to HE\perp AE, HD\perpr AD$ 

$\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính AH

$\to $Tâm I của đường tròn là trung điểm AH

b.Do $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\to BEDC$ nội tiếp 

Ta có $BD\perp AC, M$ là trung điểm BC

$\to \widehat{MDB}=\widehat{DBM}=\widehat{CED}=\widehat{HAD}=\widehat{ADI}$

$\to ID\perp DM\to DM$ là tiếp tuyến của (I)

c.Gọi AF là đường kính của (O)
$\to FC\perp AC,  FB\perp AB\to FC//BH, FB//CH\to BHCF$ là hình bình hành

$\to BC\cap HF$ tại trung điểm mỗi đường

$\to M$ là trung điểm HF

Ta có $BEDC$ nội tiếp $\to\widehat{NEB}=\widehat{NCD}\to\Delta NEB\sim\Delta NCD(g.g)$

$\to\dfrac{NE}{NC}=\dfrac{NB}{ND}\to NE.ND=NB.NC$

Tương tự do $\Diamond AKBC$ nội tiếp

$\to NK.NA=NB.NC\to NK.NA=NE.ND\to\dfrac{NE}{NA}=\dfrac{ND}{NA}\to\Delta NEK\sim\Delta NAD(c.g.c)$

$\to\widehat{NKE}=\widehat{NDA}\to AKED$ nội tiếp

$\to K\in$ đường tròn đường kính AH

$\to \widehat{AKH}=90^o\to HK\perp AN$

Lại có AF là đường kính của (O)
$\to FK\perp AN\to F,H,K$ thẳng hàng

$\to KH$ đi qua M cố định