Đáp án+ Giải thích các bước giải:

 $\text{a, Xét tứ giác APMQ có:}$
`{(MQ // AP( MQ //AB)),(MP//AQ(MP//AC)):} ⇒ \text{APMQ là hình bình hành( dấu hiệu 1)}`
(* dấu hiệu $1$ của HBH là: tứ giác có $2$ cặp cạnh đối song song là hình bình hành)

$\text{ Xét ΔACB có: M trung điểm BC(gt)}$
                       $\text{  MQ//AB}$
$\text{ ⇒ Q trung điểm AC ⇒ CQ = QA}$
$\text{ Xét ΔABC có: M trung điểm BC}$
                       $\text{ MP // AC}$
$\text{ ⇒ P trung điểm AB ⇒ AP = PB}$
Ta có:`AB = AC (\text{ ΔABC cân tại A}) -> AQ = AP`
$\text{ ⇒ APMQ là hình thoi ( dấu hiệu 2)}$
(* dấu hiệu $2$ của hình thoi: hình bình hành có $2$ cạnh kề bằng nhau là hình thoi)

_______
`b, \text{ Ta có: ΔABC cân tại A} -> \hat{B} = \hat{C} = {180^o -\hat{A}}/2`
Ta có: `AQ = AP( cmt)`

`⇒ \text{ ΔAPQ cân tại A} -> \hat{APQ} = \hat{AQP} = {180^o -\hat{A}}/2`
`-> \hat{AQP} = \hat{C} = {180^o - \hat{A}}/2`

`⇒ \text{ PQ//BC( hai góc đồng vị bằng nhau)}`