Ta có: 0 ≤ c ≤ 1 => 1-c ≥ 0

            0 ≤ b ≤ 1 => 1-b ≥ 0

=> (1-b)(1-c) ≥ 0

<=> 1 - b - c + bc ≥ 0

<=> bc + 1 ≥ b + c

Ta lại có 0 ≤ b ≤ c ≤ 1 => bc ≥ 0

              0 ≤ a ≤ 1 => 1 ≥ a

Cộng vế theo vế:

 bc + 1 + bc + 1 ≥ a + b + c + 0

<=> 2(bc + 1) ≥ a + b + c

=> $\frac{1}{2(bc + 1)}$ ≤ $\frac{1}{a + b + c}$

<=> $\frac{2a}{2(bc + 1)}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$

<=> $\frac{a}{bc + 1}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$ (1)

Tương tự như trên ta sẽ chứng minh được:

$\frac{b}{ac + 1}$ ≤ $\frac{2b}{a + b + c}$ (2)

$\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2c}{a + b + c}$ (3)

Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) , (2) va (3) ta được:

$\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$ + $\frac{2b}{a + b + c}$ + $\frac{2c}{a + b + c}$

<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2a+2b+2c}{a + b + c}$

<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2(a + b + c)}{a + b + c}$

<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ 2 (đpcm)

Chuẩn hóa : $a+b+c=2$

Theo phương pháp $UCT$ , ta sẽ đi chứng minh :

$\dfrac{x}{xy+1}≤ x . $  $(0≤x≤y≤z≤1 ) $

Thay vậy, BĐT tương đương :

$xyz ≥ 0 $ ( Đúng )

Áp dụng vào bài toán ta có :

$\dfrac{a}{bc+1} + \dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1} $

$≤a+b+c = 2 $

Dấu "=" xảy ra $⇔a=0,b=1,c=1$ và các hoán vị khác.