Ta có

$21^{10}-1 = 1 + 21 + \cdots + 21^9$

Thật vậy, đặt 

$A = 1 + 21 + \cdots + 21^9$.

KHi đó

$21A = 21 + 21^2 + \cdots + 21^{10}$

Vậy

$21A - A = (21 + 21^2 + \cdots + 21^{10}) - (1 + 21 + \cdots + 21^9)$

$\Leftrightarrow 20A = 21^{10}-1$

Vậy để chứng minh $21^{10}-1$ chia hết cho 200 thì ta sẽ chứng minh $20A$ chia hết cho 200.

Dễ thấy rằng $20A$ chia hết cho 20. Vậy để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra $A$ chia hết cho 10.

Ta để ý rằng $21^n$ có chữ số tận cùng là 1 với mọi lũy thừa $n$. Do đó

$A = 1 + 21 + \cdots + 21^{9}$

có 10 số hạng, mỗi số hạng có chữ số tận cùng là 1. Do đó, chữ số tận cùng của A là

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10$

Vậy chữ số tận cùng của A là 0.

Do đó A chia hết cho 10. Điều này dẫn đến 20A chia hết cho 200 và kết luận rằng $21^{10}-1$ chia hết cho 200.