a) 
Xét hình chữ nhật ABCD có:
+ E là trung điểm AB
+ G là trung điểm DC
=> EG là đường trung bình hình chữ nhật ABCD
=> EG//AD
Xét hình chữ nhật ABCD có
+ F là trung điểm BC
+ H là trung điểm AD
=> FH là đường trung bình hình chữ nhật ABCD
Lại có AB⊥AD(ABCD là hình chữ nhật)
=> HF⊥EG
=> HEFG là hình thoi
b) 
Gọi I là giao điểm AC và BD
Vì AC và BD là 2 đường chéo hình chữ nhật
=> AI=IC và BI=ID
Xét ΔABC có
+ E là trung điểm AB
+ I là trung điểm AC
=> IE là đường trung bình ΔABC 
=> EG cắt AC tại I
Xét ΔABD có
+ H là trung điểm AD
+ I là trung điểm DB
=> HI là đường trung bình ΔABD
=> HF cắt BD tại I
=> EG cắt FH tại I
=> EG, HF, AC, BD đồng quy

a)Do ABCD là hcn nên AB=CD,AD=BC

                                  ∠A=∠B=∠C∠D=90 độ

DO AE=EB=$\frac{1}{2}$AB

       DG=GC=$\frac{1}{2}$CD

->AE=EB=DG=GC

DO AH=HD=$\frac{1}{2}$ AD

       BF=FC=$\frac{1}{2}$  BC 

->AH=HD=BF=FC

Xét tam giác AHE và CFG có AH=CF,AE=CG,∠HAE=∠FCG=90độ

->Tam giác AHE= Tam giác CFG (cgc)

->HE=GF(2 cạnh tương ứng)<1>

Xét tam giác EBF và tam giác GDH có BE=DG,BF=DH,∠EBF=∠GDH=90 độ

->Tam giác EBF= Tam giác GDH (cgc) 

->EF=HG(2 cạnh tương ứng)<2>

Xét Tam giác HAE và tam giác FBE có AH=BF,AE=BE,∠HAE=∠FBE=90 độ

->Tam giác HAE= TAM giác FBE (CGC) 

->HE=EF ( 2 cạnh tương ứng)<3>

Từ 1 2 3 -> HE=EF=FG=GH

->EFGH là hình thoi

b) Gọi O là giao điểm của AC.BD. Do ABCD là hcn

nên O là trung điểm AC,BD

Tứ giác BHDF Có HD//BF và HD=BF ->BHDF là hình bình hành

mà O là trung điểm của đường chéo BD->O cũng là trung điểm HF

vì HEFG là hình thoi nên HF,EG cắt nhau tại trung điểm của chúng.Mà O là trung điểm HF->O cũng là trung điểm EG

Vậy AC,BD,EG,HF đồng quy tại O là trung điểm của mỗi đường

( gõ mỏi tay quá :(( )