Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có AM+BM=AB

AN+NC=AC

mà AB=AC (gt) , BM=CN (gt)

⇒AM=AN

Vì AB=AC (gt)

⇒ΔABC cân tại A

'$\widehat{ABC}$=$\widehat{ACB}$

Xét ΔABN và ΔACM

AN=AM (cmt)

AB=AC (gt)

$\widehat{A}$ là góc chung

⇒ΔABN=ΔACM (c.g.c)

b) Vì ΔABN=ΔACM (câu a)

⇒$\widehat{ANB}$=$\widehat{AMC}$ 2 góc tương ứng

Ta có $\widehat{AMI}$+$\widehat{IMB}$=`180^{0}` (2 góc kề bù)

$\widehat{ANI}$+$\widehat{INC}$=`180^{0}`(2 góc kề bù)

mà $\widehat{ANI}$=$\widehat{AMI}$ (cmt)

⇒$\widehat{IMB}$=$\widehat{INC}$

Ta có $\widehat{BMI}$+$\widehat{MIB}$+$\widehat{IBM}$=`180^{0}` (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

$\widehat{INC}$+$\widehat{NCI}$+$\widehat{CIN}$=`180^{0}` (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

mà $\widehat{IMB}$=$\widehat{INC}$ cmt , $\widehat{MIB}$=$\widehat{NIC}$  (2 góc đối đỉnh)

⇒$\widehat{MBI}$=$\widehat{NCI}$

Xét ΔBIM và ΔCIN

BM=CN (gt)

$\widehat{MBI}$=$\widehat{NCI}$ (cmt)

$\widehat{IMB}$=$\widehat{NCI}$ (cmt)

⇒ΔBIM=ΔCIN (g.c.g)

c) Vì ΔBIM=ΔCIN (câu b)

⇒IM=IN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAIM và ΔAIN

AI là cạnh chung

AM=AN (câu a)

IM=IN (cmt)

⇒ΔAIM=ΔAIN (c.c.c)

⇒$\widehat{MAI}$=$\widehat{NAI}$ (2 góc tương ứng)

Gọi H là giao điểm của AI và MN

Xét ΔAHM và ΔAHN 

AH là cạnh chung

AM=AN (câu a)

$\widehat{HAM}$=$\widehat{HAN}$ (cmt)

⇒ΔAHM=AHN (c.g.c)

⇒$\widehat{AHM}$=$\widehat{AHN}$ (2 góc tương ứng)

mà $\widehat{AHM}$+$\widehat{AHN}$=`180^{0}` (2 góc kề bù)

⇒$\widehat{AHM}$=$\widehat{AHN}$=$\frac{180^{0}}{2}$=`90^{0}`

⇒AH⊥MN 

hay AI⊥MN

Hình vẽ