S= abc+bca+cab

=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)

=(100a+100b+100c)+(10a+10b+10c)+(a+b+c)

=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)

=(a+b+c).111

=(a+b+c).3.37

vì a; b; c nhỏ hơn hoặc bằng 9 nên a+b+c nhỏ hơn hoặc bằng 27

=> (a+b+c).3 nhỏ hơn hoặc bằng 27.3=81

giả sử S là số chính phương

mà 37 là số nguyên tố và (a+b+c).3 nhỏ hơn hoặc bằng 81

=> (a+b+c).3 phải bằng 37 để S=37.37=37²

mà 37 là số nguyên tố

=>a,b,c không phải là số tự nhiên

=> S không phải là số chính phương

$S= \widehat{abc}+\widehat{bca}+\widehat{cab}$
$⇔(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$
$⇔(100a+100b+100c)+(10a+10b+10c)+(a+b+c)$
$⇔100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)$
$⇔(a+b+c).111$
$⇔(a+b+c).3.37$
Bởi $a; b; c ≥ 9$ nên $a+b+c ≥ 27$
$⇔ (a+b+c).3 ≥ 27.3=81$
Giả sử $S$ là số chính phương
Mà 37 là số nguyên tố và $(a+b+c).3 ≥ 81$
$⇔ (a+b+c).3 = 37 để S=37.37=37²$
Mà 37 là số nguyên tố
$⇒ a,b,c$ không phải là số tự nhiên
$⇒ S$ không phải là số chính phương