Đáp án:

$ 1$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad 7^{x-1} - 2\log_7(6x - 5) = 1\qquad \left(x > \dfrac56\right)\\
\Leftrightarrow 7^{x-1} - 6\log_7(6x - 5) = 1\\
\text{Đặt}\ t = \log_7(6x -5)\\
\Rightarrow 7^t = 6x - 5\qquad\ \ (1)\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad 7^{x-1} - 6t = 1\qquad (2)\\
\text{Trừ vế theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:}\\
\quad 7^t - 7^{x-1} +6t = 6x- 6\\
\Leftrightarrow 7^t +6^t = 7^{x-1} + 6(x-1)\qquad (*)\\
\text{Xét}\ f(u) = 7^u + 6u\\
\Rightarrow f'(u) = 7^u\ln 7 + 6 >0\quad \forall u\\
\Rightarrow f'(u)\ \text{đồng biến}\\
\text{Ta được:}\\
(*)\Leftrightarrow t = x - 1\quad \text{(hàm đặc trưng, đồng biến)}\\
\Leftrightarrow \log_7(6x - 5) = x - 1\\
\Leftrightarrow 7^{x-1} - 6x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow 7^x - 42x + 35 =0\qquad (**)\\
\text{Xét}\ f(x) = 7^x - 42x + 35\\
\Rightarrow f'(x) = 7^x\ln7 -42\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_7\dfrac{42}{\ln7}\\
\text{Bảng biến thiên:}\\
\begin{array}{|c|cr|}
\hline
x & \dfrac56 & &  & \log_7\dfrac{42}{\ln7}\qquad & & & +\infty\\
\hline
f'(x) &\vert & -  &  & 0\qquad\qquad & & + &\\
\hline
\\
f(x) & &\searrow& && &\nearrow\\
&&&&f\left(\log_7\dfrac{42}{\ln7}\right)<0\\
\hline
\end{array}\\
\text{Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:}\\
\min f(x) <0\\
\Rightarrow f(x) = 0\ \text{có 2 nghiệm phân biệt}\\
\text{Ta lại có:}\\
f(1) = f(2) = 0\\
\text{Do đó}\ x = 1;\ x =2\ \text{là hai nghiệm của $(**)$}\\
\text{Vậy}\ S = \{1;2\}
\end{array}\)