$\\$

`1,`

`DI\bot AB->hat{AID}=90^o`

`DK\bot AC->hat{AKD}=90^o`

Tứ giác `AIDK` có :

`hat{IAK}=90^o,hat{AID}=90^o,hat{AKD}=90^o`

`->AIDK` là hình chữ nhật

`->AD=IK`

`2,`

Gọi `O=AD∩IK`

`AIDK` là hình chữ nhật

`->IK=AD` và `O` là trung điểm của `AD,IK`

`\triangle AHD` vuông tại `H` có `HO` là đường trung tuyến

`->HO=1/2 AD = 1/2  IK`

`\triangle IHK` có : `HO` là đường trung tuyến, `HO=1/2 IK`

`->\triangle IHK` vuông tại `H`

`->hat{IHK}=90^o`

`3,`

Kẻ `OV\bot BC` mà `AH\bot BC`

`->` $OV//AH$

`\triangle AHD` có : `O` là trung điểm của `AD` và $AH//OV$

`->V` là trung điểm của `HD`

`\triangle AHD` có : `O,V` là trung điểm của `AD,HD`

`->OV` là đường trung bình

`->OV=1/2 AH`

`->O` di chuyển trên đường thẳng song song với `BC` và cách `BC` 1 khoảng bằng `1/2 AH`

Vậy khi `D` di chuyển trên `BC` thì trung điểm của `IK` di chuyển trên đường thẳng song song với `BC` và cách `BC` 1 khoảng `=1/2 AH`

`1,`

`DI bot AB`

`DK bot AC`

`\triangleABC` vuông tại `A`

`=>AIDK` là hình chữ nhật 

`=>AD=IK`(hai đường chéo)

`2,`

Tứ giác `AHDK` có:

`\hat(AHK)=\hat(AKD)=90^9`

`=>` tứ giác `AHDK` nội tiếp 

`=>hat(DAK)=\hat(DHK)`

Lại có:

`\hat(DHK)+\hat(AHK)=90^0`

`\hat(DAK)=\hat(DIK)` (hình chữ nhật)

`\hat(DIK)+\hat(AIK)90^0`

`=>\hat(AHK)=\hat(AIK)` 

`=>IAKH` nội tiếp 

Và `\hat(IAK)=90^0`

`=>\hat(IHK)=90^0`

`3,`

Gọi `AD∩IK=H`

`=>N` là trung điểm `IK`

Từ `M` kẻ `ME bot BC`

`=>ME` là đường trung bình của `\triangleHAD`

`=>ME=1/2AH`

`=>M` di chuyển trên đường thẳng song song `BC` và cách `BC` 1 khoảng `=1/2AH`