Giải thích các bước giải:

a. Tam giác $ABC$ có $BE, CF$ là đường cao nên $CF\perp AB, BE\perp AC\to\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^o$ 

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AFC$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$ (chứng minh trên)

$\to\Delta ABE\sim\Delta AFC$ (g.g)

$\to\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\to AE.AC=AF.AB$

b. Từ $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat A$ chung

$ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$ (chứng minh trên)

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC$ (c.g.c)

$\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng)

c. Ta có: $\Delta AEF\sim\Delta ABC$

$\to \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=(\dfrac{AB}{AE})^2=4$ (tính chất)

$\to S_{ABC}=4S_{AEF}$

d. Ta có:
$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{HAC}}{S_{HBC}}$

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{HAC}}$

$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{HAB}}$

$\to \dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{BC}.\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{S_{HAC}}{S_{HBC}}.\dfrac{S_{HAB}}{S_{HAC}}.\dfrac{S_{HBC}}{S_{HAB}}=1$