$\\$

`a,`

`\triangle ABC` có : 

`M,N` là trung điểm của `AB,AC`

`->MN` là đường trung bình

`->` $MN//BC$ hay $MN//HK$

`\triangle ABC` có :

`M,K` là trung điểm của `AB,BC`

`->MK` là đường trung bình

`->MK=1/2 AC` (1)

`\triangle AHC` vuông tại `H` có `HN` là đường trung tuyến

`->HN=1/2 AC` (2)

(1)(2) `-> HN=MK`

Tứ giác `MNKH` có :

$MN//HK$

`->MNKH` là hình thang mà `HN=MK`

`-> MNKH` là hình thang cân

`b,`

`E` đối xứng `M` qua `N` tức `N` là trung điểm của `ME`

Tứ giác `AMCE` có :

`N` là trung điểm của `ME,AC`

`-> AMCE` là hình bình hành

`c,`

`AMCE` là hình chữ nhật

`->` Hình bình hành `AMCE` có `hat{AMC}=90^o`

`->CM\bot AB` hay `CM` là đường cao

`\triangle ABC` có :

`CM` là đường cao, đường trung tuyến

`->\triangle ABC` cân tại `C`

Vậy `\triangle ABC` cân tại `C` để `AMCE` là hình chữ nhật

`d,`

`AMCE` là vuông

`->` Hình chữ nhật `AMCE` có `AM=CM`

`AM=CM` mà `BM=AM`

`-> AM=BM=CM`

`->CM=1/2 AB`

`AMCE` là hình chữ nhật `-> hat{AMC}=90^o`

`->CM\bot AB` hay `CM` là đường cao

`\triangle ABC` có : `CM` là đường cao, đường trung tuyến

`->\triangle ABC` cân tại `C`

`\triangle ABC` có : `CM` là đường trung tuyến, `CM=1/2 AB`

`->\triangle ABC` vuông tại `C`

Kết hợp ta được `\triangle ABC` vuông cân tại `C`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `C` để `AMCE` là hình vuông