Gọi `10` số nguyên bất kì đó là : `a_1` ; `a_2` ; `a_3` ; .... `a_10`

Xét `10` tổng sau : `S_1` `=` `a_1`

                              `S_2` `=` `a_1 + a_2`

                              `S_3 = ` `a_1 + a_2 + a_3`

                               `.........`

                               `S_10 = ` `a_1 + a_2 + ... + a_10`

`+)` TH`1` : Trong `10` tổng trên có `1` tổng `\vdots` `10` ⇒ Bài toán được chứng minh

`+)` TH`2` : Trong `10` tổng trên không có tổng nào `\vdots` `10` . Khi đó chia `10` tổng này cho `10` ta được `10` số dư `∈ { 1 ; 2 ; ..... ; 9 }`

  Vì có `10` số dư mà chỉ có `9` khả năng nên theo nguyên lí Đi rích lê sẽ có `2` tổng có cùng dư khi chia cho `10`

Giả sử đó là `S_m` và `S_n` `(` G/S : `m > n )` . Suy ra `S_m - S_n \vdots 10`

Hay `( a_1 + a_2 + ... a_m ) - ( a_1 + a_2 + ... + a_n ) \vdots 10`

`⇒ a_n + 1 + a_n + 2 + ... + a_n \vdots 10` `⇒` ĐPCM

Gọi  10  số nguyên bất kì đó là :  `a _ 1  ;  a_2  ;  a_3  ; ....  a_10`

Xét  10  tổng sau :

 `S_1   =   a_1`                                

 `S_2   =   a_1 + a_2`                               

 `S_3 =   a_1 + a_2 + a_3`                

`....`

` S_10 =   a_1 + a_2 + ... + a_10`

 Trong  `10`  tổng trên có  `1`  tổng  `vdots   10`  ⇒ Bài toán được chứng minh