a) Ta có: $\widehat{ABE}=\widehat{ABD}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\widehat{AHE}=90^o$ (giả thiết cho H là hình chiếu của E lên AD)

$\Rightarrow$ tứ giác $ABEH$ có:

$\widehat{ABE}+\widehat{AHE}=180^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $ABEH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AE)$

b) Ta có: $\widehat{B_1}=\widehat{A_1}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$ của đường tròn (O))

$\widehat{A_1}=\widehat{B_2}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EH của đường tròn (AE))

$\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\Rightarrow BD$ là đường phân giác của $\widehat{HBC}$ (1)

c) Ta có: $\widehat{EHD}=90^o$ (giả thiết cho $H$ là hình chiếu của E lên AD)

$\widehat{ECD}=\widehat{ACD}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\Rightarrow$ tứ giác $ECDH$ có:

$\widehat{EHD}+\widehat{ECD}=180^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $ECDH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(ED)$

$\Rightarrow\widehat{EHC}=\widehat{EDC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (ED))

$\widehat{EDC}=\widehat{BAC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC của (O))

$\widehat{BAC}=\widehat{BHE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE của (AE))

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{EHC}=\widehat{BHE}$

$\Rightarrow HE$ là đường phân giác $\widehat{BHC}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Delta BCH$ có $BD,HE$ là hai đường phân giác cắt nhau tại E nên E là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BCH$.

d) $\Delta AED$ có: $I$ là trung điểm của $ED,O$ là trung điểm của $AD$

nên $IO$ là đường trung bình của $\Delta AED\Rightarrow OI//AE$

$\Rightarrow\widehat{OIB}=\widehat{AEB}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

mà $\widehat{AEB}=\widehat{AHB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ của (AE))

từ hai điều trên suy ra $\widehat{OIB}=\widehat{AHB}$

Tứ giác $BHOI$ có

$\widehat{OIB}+\widehat{OHB}=\widehat{AHB}+\widehat{OHB}=180^o$

$\Rightarrow $ tứ giác $BHOI$ nội tiếp

e) Tứ giác $BHOI$ nội tiếp suy ra $\widehat{OID}=\widehat{HBI}$ (cùng bù với $\widehat{OIB}$)

Xét $\Delta DIO$ và $\Delta DHB$ có:

$\widehat D$ chung

$\widehat{OID}=\widehat{BHD}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\Delta DIO\sim\Delta DHB$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{DO}{DB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow DI.DB=DO.DH$

f) $\widehat {A_1}=\widehat{B_2}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EH của (AE))

$\widehat{B_2}=\widehat{A_2}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DK của (O))

$\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (3)

$\widehat{H_1}=\widehat{H_3}$ (hai góc cùng phụ hai góc bằng nhau $\widehat{EHC}=\widehat{EHB}$)

$\widehat{H_3}=\widehat{H_2}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{H_2}$ (*)

$\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AHK}$ (4) (cùng bù với hai góc bằng nhau $\widehat{H_1}=\widehat{H_2}$)

Từ (3), (4) và AH chung $\Rightarrow\Delta AHC=\Delta AHK$ (g.c.g)

$\Rightarrow HC=HK\Rightarrow\Delta HCK$ cân đỉnh H có (*) suy ra $HD$ là phân giác nên HD là đường cao, trung tuyến suy ra $HD\bot CK$ tại trung điểm của CK

$\Rightarrow C,K$ đối xứng qua AD.