a) Do M, N là trung điểm DE, EF nên MN là đường trung bình của tam giác DEF, vậy MN//DF hay MN//FP và $MN = \dfrac{1}{2} DF$.

Lại có P là trung điểm DF nên $DP = PF = \dfrac{1}{2} DF$.

Vậy $MN = PF$.

Xét tứ giác MNFP có MN//FP và MN = PF. Vậy tứ giác này là hình bình hành.

b) Do K đxung vs D qua N nên ND = NK.

Lại có N là trung điểm EF nên NE = NF.

Xét tam giác DEN và NFK có

$\begin{cases}
ND = NK\\
\widehat{DNE} = \widehat{FNK} \, \text{(đối đỉnh)}\\
NE = NF
\end{cases}$

Vậy tam giác DEN = tam giác KFN. Do đó $DE = KF$ và $\widehat{KFN} = \widehat{DEN}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên $DE//KF$.

Xét tứ giác DEKF có DE//KF và DE = KF. Vậy tứ giác này là hình bình hành.

Lại có $\widehat{EDF} = 90^{\circ}$ nên DEKF là hình chữ nhật.

c) Ta có M và P là trung điểm DE, DF nên MP là đường trung bình của tam giác DEF, do đó MP // EF hay MP//NI.

Vậy tứ giác MPNI là hình thang.

Xét tam giác FID vuông tại I có IP là đường trung tuyến nên $IP = PD = \dfrac{1}{2} DF$.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên $MN = \dfrac{1}{2} DF$.

Vậy $MN = IP ( = \dfrac{1}{2} DF)$.

Vậy hình thang MPNI là hình thang cân