Đáp án + giải thích các bước giải : 

$\\$ `Đặt : R_2 = x`

$\\$ `e)` $\bullet$ Để công suất tiêu thụ trên `R_2` đạt `GTLN`

$\\$ Điện trở của đèn là :
$\\$ `R_đ = U_(dm)^2/mathcalP_(dm) = 6^2/6 = 6(Omega)`
$\\$ `Ta có : (R_1R_2)/(R_1+R_2) = (12x)/(12+x)`
$\\$ `->` Điện trở tương đương của mạch là :
$\\$ `R_(tđ) = R_đ + R_(12) = 6 + (12x)/(12+x) = (6x + 72 + 12x)/(x+12) = (18x+72)/(x+12)`

$\\$ `->` Cường độ dòng điện qua mạch là :
$\\$ `I_(12) = I = U_(AB)/R_(tđ) = 9 : (18x+72)/(x+12) = 9 . (x+12)/(18x+72) = (x+12)/(2x+8)`

$\\$ `->` Hiệu điện thế `2` đầu `R_2` là :

$\\$ `U_2 = U_(12) = I_(12). R_(12) = (x+12)/(2x+8) . (12x)/(x+12) = (6x)/(x+4)`

$\\$ `->` Công suất trên `R_2` là :
$\\$ `mathcalP_2 = U_2^2/x = ((6x)/(x+4))^2 : x = (36x^2)/(x(x+4)^2) = (36x)/(x^2 + 8x + 16)`

$\\$ $\text{Chia cả tử và mẫu cho x}$ 

$\\$ `=> mathcalP_2 =`$\dfrac{36}{x + \dfrac{16}{x} + 8} $

$\\$ $\text{Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương, ta có :}$ 

$\\$` x + 16/x ge 2sqrt(x . 16/x) = 2.sqrt16 = 2.4  =8`

$\\$ `=> x + 16/x + 8 ge 8 + 8 = 16`

$\\$` => mathcalP_2 le 36/16 = 4,5`

$\\$` => mathcalP_(2max) = 2,25(W)`

$\\$ $\text{Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow x^2 = 16  \Leftrightarrow x = 4  \Leftrightarrow R_2 = 4(\Omega)$}$ 

$\\$ $\bullet$ Công suất tiêu thụ trên đoạn song song `R_(12)` đạt `GTLN`

$\\$ `Đặt : R_(12) = y`

$\\$ `->` Điện trở tương đương của mạch là :

$\\$ `R = R_đ + R_(12) = y +6`

$\\$ `=>` Cường độ dòng điện qua mạch lúc này là :
$\\$ `I = I_(12) = U_(AB)/R = 9/(y+6)`

$\\$ `=>` Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch `R_(12)` là :

$\\$ `mathcalP_(12) = I_(12)^2. R_(12) = (9/(y+6))^2 . y = (81y)/(y^2 + 12x + 36)`

$\\$ $\text{Chia cả tử và mẫu cho y}$

$\\$` => mathcalP_(12) =` $\dfrac{81}{y + \dfrac{36}{y} + 12} $

$\\$ $\text{Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương, ta có :}$ 

$\\$ `y + 36/y ge 2sqrt(y . 36/y) = 2.sqrt36 = 2.6  = 12`

$\\$` => y + 36/y + 12 ge 24`

$\\$ `=> mathcalP_(12) le 81/24 = 3,375`

$\\$` => mathcalP_(12max) = 3,375(W)`

$\\$ $\text{Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow y^2 = 36  \Leftrightarrow y=6$}$

$\\$ `=> (R_1R_2)/(R_1+R_2) =  6`

$\\$ `=> (12x)/(12+x) = 6`

$\\$` => 12x = 72 + 6x`

$\\$ `=> 6x = 72`

$\\$` => x = R_2 = 12(Omega)`

$\\$ $\text{Vậy : Để công suất trên $R_{12}$ max thì $R_{2}$ = 12 $ \Omega$ }$