Đáp án:

$1) \dfrac{R}{r}=\sqrt{\dfrac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+4}}\\ 2)R_{ng.t}=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\\ 3)S=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$

$4)12$ cạnh

Giải thích các bước giải:

$a$ là chiều dài cạnh đa giác, $n$ là số cạnh đa giác đều

1)Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$R=\dfrac{a}{2\sin\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}$

Bán kính đường tròn nội tiếp:

$r=\dfrac{a}{2\tan\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}\\ \dfrac{R}{r} =\dfrac{\dfrac{a}{2\sin\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}}{\dfrac{a}{2\tan\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}}\\ =\dfrac{\sin\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}{\tan\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}\\ =\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{180^o}{n}\right)}\\ =\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{180^o}{24}\right)}\\ =\dfrac{1}{\cos(7,5^o)}\\ \left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{\cos^2(7,5^o)}\\ =\dfrac{1}{\dfrac{1+\cos(15^o)}{2}}\\ =\dfrac{2}{1+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ =\dfrac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+4}\\ \Rightarrow \dfrac{R}{r}=\sqrt{\dfrac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+4}}\\ 2)AB=2.\dfrac{R}{2}=R$

$H$ là giao 2 đường tròn $O,O'$ đồng thời là trung điểm $BC$

$\Delta ABC$ đều, $AH$ là trung tuyến

$\Rightarrow AH$ đồng thời là đường cao

$\Delta AHB, \widehat{AHB}=90^o\\ \Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là giao điểm ba đường trung tuyến

$\Rightarrow R_{ng.t}=AG=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\\ 3)S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\\ 4)\dfrac{r}{R}=\cos\left(\dfrac{180^o}{n}\right)\\ \dfrac{r}{R}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\cos(15^o)\\ \Rightarrow \cos\left(\dfrac{180^o}{n}\right)=\cos(15^o)\\ \Rightarrow\dfrac{180^o}{n}=15^o+k.360^o(k \in \mathbb{Z})\\k=0 \Rightarrow n=12$