Đáp án:

$a)$

$ΔABM$ và $ΔACN$ có:

$BM=CN$

$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}$
$AM=AN$
$→ΔABM=ΔACN$

$→AB=AC$
$→ΔABC$ cân

$b)$ 

$ΔABM=ΔACN$

$→\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$

$ΔABH$ và $ΔACK$ là hai $Δ$ vuông có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$

$AB=AC$

$→ΔABH=ΔACK$

$\to BH=CK$

$c)$ $ΔABH=ΔACK$

$→AH=CK$

$d)$ Nối A với O

$ΔAOH$ và $ΔAOK$ là hai $Δ$ vuông có:

$AO$ chung

$AH=AK$

$→ΔAOH=ΔAOK$
$→OH=OK$

mà $BH=CK$

$\to OH-BH=OK-CK$
$→OB=OC$
$→ΔOBC$ cân

$e)$ Bạn ghi lại đề giúp mình. 

a,Ta có: ΔAMN cân tại A (gt)

        ⇒AM=AN (2 cạnh tương ứng)

    và ∠ANM=∠AMN (2 góc ở đáy của Δ cân)

Xét ΔAMB vàΔANC có:

     MB=CN (gt)

     AM=AN (cmt)

    ∠AMN=∠ANM (cmt)

⇒ΔAMB=ΔANC (c.g.c)

⇒AB=AC (2 canh tương ứng)

⇒ΔABC cân tại A

b, Ta có: HB⊥AM tại H⇒ΔABH vuông tại H

              CK⊥AN tại K  ⇒ΔACK vuông tại K

Ta có:ΔAMB=ΔANC(cmt)

    ⇒∠MAB=∠NAC (2 góc tương ứng)

Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có:

              ∠MAB=∠NAC (cmt)

                 AB=AC (cmt)

    ⇒ΔABH=ΔACK (trường hợp đặc biệt,cạnh huyền ,góc nhọn)

    ⇒BH=CK(2 cạnh tương ứng)

c, ta có:ΔABH=ΔACK (cmt)

      ⇒AH=AK (2 cạnh tương ứng)

d,ta có:ΔAMB=ΔANC (cmt)

      ⇒∠AMB=∠ANC (2 góc tương ứng)

   Xét ΔMBH vuông tại H và ΔNCK vuông tại K có:

              ∠AMB=∠ANC (cmt)

                 BM=CN (gt)

  ⇒ΔMBH=ΔNCK (trường hợp đặc biệt,cạnh huyền,góc nhọn)

  ⇒∠HBM=∠KCN (2 góc tương ứng)

 mà ∠HBM+∠CBO=180 độ (2 góc kề bù)

      ∠NCK+∠BCO=180 độ (2 góc kề bù)

  ⇒∠CBO=∠BCO

  ⇒ΔCBO cân tại O 

e,Xét ΔADB vuông tại D và ΔADC vuông tại D có:

             AB=AC (cmt)

              AD là cạnh chung

⇒ΔADB=ΔADC (trường hợp đặc biệt,cạnh huyền,cạnh góc vuông)

⇒BD=DC (2 cạnh tương ứng)

mà BD+DC=BC; BC=12 cm

  ⇒2BD=12 cm

  ⇒BC=12/2=6 cm

ta có:Δ ADB vuông tại D 

  ⇒AD²+BD²=AB² (định lí Py-ta go)

mà AB=10 cm

      BD=6 cm

⇒AD²+6²=10²⇒AD²+36=100⇒AD²=100-36=64⇒AD=8 cm

Chúc bạn học tốt ^.^