Khi $a=60^{0}$

Vì $OS$ là tia phân giác của $∠I_{1}OI_{2}$

$⇒∠I_{1}OS=∠I_{2}OS=30^{0}$

Vì $ΔI_{1}OS=ΔI_{1}OS(ch.gn)$

$⇒SI_{1}=SI_{2}=\dfrac{a}{2}$ (cạnh đối diện với góc $30^{0}$)

Mà $I_{1}S_{1}=SI_{1}$; $I_{2}S_{2}=SI_{2}$

$⇒SS_{1}=SS_{2}=a$

$⇒ΔSS_{1}S_{2}$ cân ở $S$

$⇒AS$ là đường cao

Ta chứng minh được $∠SS_{2}A=30^{0}$

Mà $ASS_{2}$ vuông tại $A$

$⇒AS=\dfrac{a}{2}$

$⇒AS_{2}=\sqrt{SS_{2}²-AS²}=\sqrt{a²-(\dfrac{a}{2})²}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$⇒S_{1}S_{2}=a\sqrt{2}$ $(*)$

Khi $a=120^{0}$

Ta cm được $ΔSS_{1}S_{2}$ cân ở $S$

Ta chứng minh được $∠I_{2}SO=30^{0}$

Mà $OSI_{2}$ vuông tại $I_{2}$

$⇒OI_{1}=\dfrac{a}{2}$

$⇒SI_{2}=\sqrt{OS²-OI_{1}²}=\sqrt{a²-(\dfrac{a}{2})²}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$⇒SS_{1}=SS_{2}=a\sqrt{2}$

$ΔSBS_{2}$ vuông tại $B$ có $∠I_{2}SO=30^{0}$

$⇒BS_{1}=BS_{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$⇒S_{1}S_{2}=a\sqrt{2}$ $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$, ta có đpcm