a) Do O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD, do đó OD = OB.

Mặt khác, do M và N là trung điểm của OD, OB nên ta có

$DM = MO = \dfrac{1}{2} OD = \dfrac{1}{2} OB = ON = NB$

Xét tam giác AMD và CNB có

- $AD = BC$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)

- $\widehat{ADM} = \widehat{CBN}$ (2 góc so le trong)

- $DM = BN$

Vậy tam giác ADM = tam giác CBN, do đó AM = CN.

CMTT ta có AN = CM.

Vậy tứ giác ANCM là hình bình hành, suy ra AM//CN.

b) Xét tứ giác AFCE có AF//CE (AB//CD) và AE//CF (AM//CN).

Vậy tứ giác AFCE là hình bình hành, do đó AF = CE.

c) Ta có AE//CN. KHi đó, theo Ta lét ta có

$\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{DE}{DC}$

Lại có $DN = DM + MO + ON = DM + DM + DM = 3DM$

Vậy $\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{1}{3}$

Suy ra $\dfrac{DE}{DC} = \dfrac{1}{3}$.

Do đó

$\dfrac{DE}{EC} = \dfrac{DE}{DC-DE} = \dfrac{1}{3-1} = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $DE = \dfrac{1}{2} EC$.