$\\$

`a,`

Xét `\triangle MAC` và `\triangle MDB` có :

`BM=CM` (`M` là trung điểm của `BC`)

`MA=MD` (gt)

`hat{BMD}=hat{CMA}` (Đối đỉnh)

`=>\triangle MAC=\triangle MDB` (cạnh - góc - cạnh)

`b,`

`\triangle MAC=\triangle MDB` (cmt)

`=>hat{MAC}=hat{MDB}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` $AC//BD$

`c,`

`\triangle MAC=\triangle MDB` (cmt)

`=>AC=BD` (2 cạnh tương ứng)

Xét `\triangle BNE` và `\triangle ANC` có :

`hat{BNE}=hat{ANC}` (Đối đỉnh)

`AN=BN` (`N` là trung điểm của `AB`)

`NE=NC` (gt)

`=>\triangle BNE=\triangle ANC` (cạnh - góc - cạnh)

`=>AC=BE` (2 cạnh tương ứng) và `hat{NBE}=hat{NAC}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong `=>` $AC//BE$

$AC//BE, AC//BD$ (cmt)

`=>BE≡BD` hay `E,B,D` thẳng hàng (*)

`AC=BE,AC=BD` (cmt)

`=>BE=BD` (**)
(*)(**) `=>B` là trung điểm của `DE`

`d,`

Xét `\triangle ACE` và `\triangle BEC` có :

`EC` chung

`BE=AC` (cmt)

`hat{BEC}=hat{ACE}` ($BE//AC$)

`=>\triangle ACE=\triangle BEC` (cạnh - góc - cạnh)

`=>hat{CAE}=hat{EBC}` (2 góc tương ứng)

`a)`

Xét `ΔMAC` và `ΔMDB` có:

          `MD=MA(g``t)`

          `hat{M_1}=hat{M_2}(2` góc đối đỉnh)

          `MB=MC(M` là trung điểm của `BC)`

`⇒ΔMAC=ΔMDB(c.g.c)(đpcm)`

`b)`

Theo câu `a)ΔMAC=ΔMDB(c.g.c)`

`⇒hat{A_1}=hat{D_1}(2` góc tương ứng)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí so le trong

`⇒AC////BD(đpcm)(1)`

`c)`

Xét `ΔNAC` và `ΔNBE` có:

          `NC=NE(g``t)`

          `hat{N_1}=hat{N_2}(2` góc đối đỉnh)

          `NA=NB(N` là trung điểm của `AB)`

`⇒ΔNAC=ΔNBE(c.g.c)`

`⇒hat{C_1}=hat{E_1}(2` góc tương ứng)

     `AC=BE(2` cạnh tương ứng)`(2)`

Ta có:`hat{C_1}=hat{E_1}(cmt)`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí so le trong

`⇒AC////BE(3)`

Từ `(1)` và `(3)⇒BD≡BE`

                       `⇒3` điểm `D,B,E` thẳng hàng `(4)`

Theo câu `a)ΔMAC=ΔMDB(c.g.c)`

`⇒AC=DB(2` cạnh tương ứng)`(5)`

Từ `(2)` và `(5)⇒BE=DB(6)`

Từ `(4)` và `(6)⇒B` là trung điểm của đoạn thẳng `DE(đpcm)`

`d)`

Xét `ΔCAE` và `ΔEBC` có:

        `EC:chung`

       `hat{C_1}=hat{E_1}(cmt)`

         `AC=BE(cmt)`

`⇒ΔCAE=ΔEBC(c.g.c)`

`⇒hat{CAE}=hat{EBC}(2` góc tương ứng)(đpcm)