$\\$

`a,`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AD` là đường cao

`->AD` là đường trung tuyến

`->D` là trung điểm của `BC`

`F` đối xứng `E` qua `D`

`->D` là trung điểm của `EF`

Tứ giác `BECF` có :

`D` là trung điểm của `BC,EF`

`->BECF` là hình bình hành mà `hat{BEC}=90^o`

`->BECF` là hình chữ nhật

`b,`

`BECF` là hình chữ nhật

`->` $BE//CF$

`\triangle BDK` và `\triangle CDK` có :

`BD=CD`

`DK` chung

`hat{BDK}=hat{CDK}`

`->\triangle BDK=\triangle CDK` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{KBD}=hat{KCD}`

Mà `hat{KCD}=hat{HBD}`

`->hat{KBD}=hat{HBD}`

`\triangle BDH` và `\triangle BDK` có :

`BD` chung

`hat{KBD}=hat{HBD}`

`hat{BDH}=hat{BDK}`

`->\triangle BDH=\triangle BDK` (góc - cạnh - góc)

`-> BH=BK`

`c,`

`BH=BK`

`->\triangle BHK` cân tại `B`

`->hat{BKA}=hat{BHK}`

`AHBI` là hình bình hành

`->` $AH//BI, BI=AH$ và $AI//BH$

$AH//BI$ hay $BI//AK$

$AI//BH$

`->hat{IAK}=hat{BHK}` mà `hat{BHK}=hat{BKA}`

`->hat{IAK}=hat{BKA}`

Tứ giác `AIBK` có :

$BI//AK$

`->AIBK` là hình thang mà `hat{BKA}=hat{IAK}`

`->AIBK` là hình thang cân

`d,`

`DH=DK` mà `H,D,K` thẳng hàng

`->D` là trung điểm của `HK`

Tứ giác `BHCK` có :

`D` là trung điểm của `BC,HK`

`->BHCK` là hình bình hành

`->` $CH//BK$ mà `I,H,C` thẳng hàng

`->` $IH//BK$

Tứ giác `HIBK` có : $IH//BK, BI//HK$

`-> HIBK` là hình bình hành

`->BI=HK` mà `BI=AH`

`-> AH=HK` mà `HD=1/2 HK`

`-> HD=1/2 AH`

`-> (HD)/(AH)=1/2`

`\triangle ABC` có : `AD` là đường trung tuyến và `(HD)/(AH)=1/2`

`->H` là trọng tâm mà `H` là trực tâm

`->\triangle ABC` đều

Vậy `\triangle ABC` đều để `C,H,I` thẳng hàng