$\\$

`a,`

`AB<AC`

`->hat{ACB}<hat{ABC}`

`hat{ABC}+hat{BAH}=90^o`

`hat{HAC}+hat{BAH}=90^o`

`->hat{ABC}=hat{HAC}`

`->hat{ACB}<hat{HAC}`

`-> AH < CH`

Mà `AH=HD` (Do `AHDE` là hình vuông)

`-> HD < CH`

`-> D` nằm giữa `H,C` tức `D` nằm trên `HC`

`b,`

Tứ giác `ABGF` có :

$AB//GF, BG//AF$

`-> ABGF` là hình bình hành mà `hat{BAF}=90^o`

`-> ABGF` là hình chữ nhật (1)

`hat{BAH}+hat{HAC}=90^o`

`hat{FAE}+hat{HAC}=90^o` (Do `AHDE` là hình vuông)

`->hat{BAH}=hat{FAE}`

`\triangle AHB` và `\triangle AEF` có :

`hat{AHB}=hat{AEF}=90^o` (`hat{AEF}=90^o` do `AHDE` là hình vuông)

`AH=AE` (Do `AHDE` là hình vuông)

`hat{BAH}=hat{FAE}`

`->\triangle AHB=\triangle AEF`  (góc - cạnh - góc)

`-> AB=AF` (2)

 (1)(2) `-> ABGF` là hình vuông

`d,`

Gọi `BF∩AG=O` (3)

`AH=HD` (Do `AHDE` là hình vuông)

`->H` nằm trên đường trung trực của `AH` (*)

`ABGF` là hình vuông có `BF∩AG=O`

`->O` là trung điểm của `BF,AG`

`\triangle BAF` vuông tại `A` có `AO` là đường trung tuyến

`->AO=1/2 BF`

`\triangle BDF` vuông tại `D` có `DO` là đường trung tuyến

`->OD=1/2 BF`

Do đó : `OA=OD`

`->O` nằm trên đường trung trực của `AD` (**)

`AE=DE` (Do `AHDE` là hình vuông)

`->E` nằm trên đường trung trực của `AD` (***)
(*)(**)(***) `-> H,O,E` thẳng hàng hay `HE` đi qua `O` (4)

(3)(4) `-> BF,AG, HE` đồng quy