Đáp án:

$+)$ Dễ thấy $AA',BB',CC'$ là các đường phân giác trong $ΔABC$ 

$→AA',BB',CC'$ đồng quy

$+)$ Ta có: $\widehat{ARQ}=180^{\circ}-\dfrac{\widehat{C}}{2}-\widehat{A}-\dfrac{\widehat{B}}{2}=\widehat{AQR}$

$\to AR=AQ$

Dễ thấy: $AI\;\bot\; RQ$ do $\widehat{RAI}+\widehat{ARQ}=\dfrac{\widehat{A}}{2}+90^{\circ}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90^{\circ}$

$\widehat{IBR}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\widehat{CC'B'} \to \Diamond BC'RI$ nội tiếp

\[\to \widehat{QRI}=\widehat{IBC'}=\dfrac{\widehat{B}}{2}+\dfrac{\widehat{C}}{2}=\widehat{ARQ}\to \widehat{IRQ}=\widehat{QRA}=\widehat{AQR}=\widehat{RQI}\]

$ \Diamond BC'RI$ nội tiếp $\to IQAR$ là hình thoi

$+)$ Chứng minh tượng tự:

$\Diamond BSIM; CPIN$ là hình thoi

$\widehat{MC'C}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{SAI} \to \Diamond SC'AI$ nội tiếp

Tương tự: $\Diamond IAB'P$ nội tiếp

\[\to \widehat{AIS}=180-\widehat{A'C'A}=\widehat{AB'A'}=180-\widehat{PIA} \to \overline{SIP}\]

Tương tự, ta cũng có: $\overline{RIN};\overline{MIQ}$

$BS=BM;SR=MN \to BR=BN$

mà $\widehat{BRN}=180-\widehat{IRA}=180-\widehat{A} \to NR//AC \to AB=BC$

CMTT các trường hợp còn lại $\to \Delta$ ABC đều

Chúc bạn học tốt ❤