Giải thích các bước giải:

 1) Hai số đối nhau là hai số có tổng bằng 0.

VD: $3+(-3)=0$ khi đó $3,(-3)$ là 2 số đối nhau.

2) Hai số nghịch đảo là hai số có tích bằng 1.

VD: $3.\dfrac{1}{3}=1$ khi đó $3,\dfrac{1}{3}$ là hai số nghịch đảo.

3) Quy tắc cộng:

a) 2 phân số cùng mẫu số:

Giả sử có 2 phân số cùng mẫu số là: $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{b}$ ($b\ne 0$)

Khi đó: Tổng của 2 phân số cùng mẫu số là phân số mới có mẫu số giữ nguyên và tử số bằng tổng tử số của 2 phân số ban đầu.

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{a + c}}{b}$

Ví dụ: $\dfrac 12+\dfrac52=\dfrac{1+5}2=\dfrac62=3$

b) 2 phân số khác mẫu số:

Giả sử có 2 phân số khác mẫu số là: $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ ($b,d\ne 0; b\ne d$)

Khi đó: Ta quy đồng mẫu số của 2 phân số ban đầu, tổng của 2 phân số bằng phân số mới có mẫu số là mẫu số chung và tử số bằng tổng 2 tử số sau khi quy đồng.

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ad}}{{bd}} + \dfrac{{bc}}{{bd}} = \dfrac{{ad + bc}}{{bd}}$

Ví dụ :$\dfrac13+\dfrac27=\dfrac{1.7}{3.7}+\dfrac{2.3}{7.3}=\dfrac7{21}+\dfrac6{21}=\dfrac{7+6}{21}=\dfrac{13}{21}$

          $\dfrac2{15}+\dfrac43=\dfrac2{15}+\dfrac{4.5}{3.5}=\dfrac2{15}+\dfrac{20}{15}=\dfrac{2+20}{15}=\dfrac{22}{15}$

4) a) Phép trừ 2 phân số:

Giả sử có 2 phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ ($b,d\ne 0$)

Khi đó: Ta quy đồng mẫu số của 2 phân số ban đầu, hiệu của 2 phân số bằng phân số mới có mẫu số là mẫu số chung và tử số bằng hiệu 2 tử số sau khi quy đồng.

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ad}}{{bd}} - \dfrac{{bc}}{{bd}} = \dfrac{{ad - bc}}{{bd}}$

Ví dụ: $\dfrac52-\dfrac12=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac42=2$

$\dfrac{15}4-\dfrac15=\dfrac{15.5}{4.5}-\dfrac{1.4}{5.4}=\dfrac{75}{20}-\dfrac{4}{20}=\dfrac{75-4}{20}=\dfrac{71}{20}$

$\dfrac{21}{4}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{21.5}{4.5}-\dfrac3{20}=\dfrac{105}{20}-\dfrac3{20}=\dfrac{105-3}{20}=\dfrac{51}{10}$

b) Phép nhân 2 phân số:

Giả sử có 2 phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ ($b,d\ne 0$)

Khi đó: Tích 2 phân số bằng phân số mới có tử số bằng tích 2 tử số ban đầu và mẫu số bằng tích 2 mẫu số ban đầu.

$\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{ac}}{{bd}}$

Ví dụ $\dfrac12.\dfrac27=\dfrac{1.2}{2.7}=\dfrac{2}{14}=\dfrac17$

c) Phép chia 2 phân số:

Giả sử có 2 phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ ($b,c,d\ne 0$)

Khi đó: Thương 2 phân số là tích của phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ 2.

$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{ad}}{{bc}}$

Ví dụ: $\dfrac12:\dfrac47=\dfrac12.\dfrac74=\dfrac{1.7}{2.4}=\dfrac78$

5) a) Tính chất của phép cộng 2 phân số:

Giả sử có 3 phân số $\dfrac{a}{b}$; $\dfrac{c}{d}$; $\dfrac{m}{n}$ ($b,d,n\ne 0$)

+) Giao hoán:

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}$

+) Kết hợp:

$\dfrac{a}{b} + \left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{m}{n}} \right) = \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) + \dfrac{m}{n}$

+) Cộng với 0:

$\dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$

b) Tính chất của phép nhân 2 phân số:

Giả sử có 3 phân số $\dfrac{a}{b}$; $\dfrac{c}{d}$; $\dfrac{m}{n}$ ($b,d,n\ne 0$)

+) Giao hoán:

$\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} . \dfrac{a}{b}$

+) Kết hợp:

$\dfrac{a}{b} . \left( {\dfrac{c}{d} . \dfrac{m}{n}} \right) = \left( {\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d}} \right) . \dfrac{m}{n}$

+) Nhân với 1:

$\dfrac{a}{b} .1 = 1. \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$

+) Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng:

$\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right)\dfrac{m}{n} = \dfrac{m}{n}\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) = \dfrac{m}{n}.\dfrac{a}{b} + \dfrac{m}{n}.\dfrac{c}{d}= \dfrac{{am}}{{bn}} + \dfrac{{cm}}{{dn}}$.